探究一道高考题2004年高考数学湖北卷第19题是一道颇具探究价值的试题：如图１，在中，已知，若长为的线段以点为中点，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个最大值．下面从三个方面给予探究．一、常规解法解法１：如图2，∵，∴．∵，，．∴．故当，即（与方向相同）时，的值最大，其最大值为．点评：本解法利用向量的几何形式及其运算，将转化为角的函数求解，有一定的技巧性．解法2：如图3，以直角顶点为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系．设，，则，，，且，．设点的坐标为，则，∴，，，．∴．∵，，．故当，即（与方向相同）时，最大，其最大值为．点评：本解法利用向量的坐标形式及其运算，数形结合，将转化为角的函数求解．其解题思路自然流畅，入手较易．二、创新解法解法3：仿解法2，建立平面直角坐标系，设出向量的坐标，得到．∵，，∴．故（当且仅当，时，取“＝”），即取最大值，此时，，，，，故与的夹角为．点评：本解法紧紧抓住关系式，活用基本不等式求得最大值，简捷、巧妙．三、探究感悟１．平面向量的数量积是平面向量的一种重要运算．将问题中的垂直关系转化为向量的数量积为，进而转化为角的余弦函数是求得最值的关键．２．把几何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相关的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．这种解题方法具有普遍性，同学们应能够很好地掌握．其中坐标系的建立很重要，它关系到运算的繁与简．３．对同一个问题从不同角度探究拓展，有利于同学们思维能力的培养，也是提高复习效率的有效途径．同学们在平时复习时，应多做这方面的工作．
