高三数学解题方法谈：存在性与探索性问题的向量处理（理）VIP免费

存在性与探索性问题的向量处理立体几何中存在性与探索性问题是同学们学习中的难点，如果用向量的方法来处理则往往可使问题化难为易，加之用向量解答此类问题的方法固定，操作简单，能避开复杂的转化与逻辑推理，因此更具可行性．试以三例说明．例1在底面是菱形的四棱锥PABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=2a，点E在PD上，且PE∶ED＝2：1，在棱PC上是否存在一点Ｆ，使BF∥平面AEC？证明你的结论．解：以Ａ为坐标原点，直线ADAP，分别为y轴、z轴，过点A垂直平面yOz的直线为x轴，建立空间直角坐标系（如图１）．由题设条件，相关各点与向量的坐标分别为332(000)00(00)(00)0222233aaaaaaABCDaPaE，，，，，，，，，，，，，，，，，，233100(00)332222aaaaAEACAPaPCaaa�，，，，，，，，，，，3122BPaaa�，，，．设点Ｆ是棱PC上的点，3122PFPCaaa�，，（其中0＜＜1），则3(1)(1)(1)22aaBFBPPFa�，，．令12BFACAE�，得1112121222331(1)1222241(1)12233231.(1)1233aaaaaaa，，，，，即当12时，1322BFACAE�，亦即F是PC的中点时，BFACAE�，，共面．又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC．注：利用共面向量有关定理建立方程是动点存在性问题得以解决的关键．本题还可以求出平面AEC的法向量n，通过BF�⊥n求BF∥平面AEC（将线面平行转化为直线与平面的法向量垂直）时，F所在的位置，这种以“以求代证”的方法是同学们需要掌握的．例2在单位正方体1111ABCDABCD中，点Ｅ是棱BC的中点，棱CD上是否存在一点F，使得1DE⊥平面1ABF．如存在，请确定点Ｆ的位置；如不存在，请说明理由．用心爱心专心解：以Ａ为坐标原点，1ABADAA，，分别为xyz，，轴的正方向建立空间直角坐标系，设在棱CD上存在F且DFx，则1(101)(011)10(10)2BDEFx，，，，，，，，，，，．111111111(101)(10)1102DEABAFxDEABDEAB�，，，，，，，，，，⊥．又1DE⊥平面1110ABFDEAFDEAF�，，⊥．故有12x，故当F为棱CD的中点时，1DE⊥平面1ABF．注：利用空间向量数量积的有关性质是确定空间平行、垂直关系的一种有效方式．这种将几何问题代数化的方法真正体现了空间向量的作用，值得仔细回味．从以上的例题可以看到，利用空间向量研究立体几何中的探索性（或存在性）问题的关键是构建向量及空间直角坐标系，然后利用空间向量的数量积、向量模的投影公式处理空间平行、垂直等位置关系问题，还可避开传统的“作———证———算”中的难点，具有较强的可操作性．例3如图2，已知平行六面体1111ABCDABCD的底面ABCD是菱形，且1160CCBCCDBCD．（1）证明1CCBD⊥；（2）若1322CDCC，，求二面角1CBDC的平面角的余弦值；（3）当1CDCC的值等于多少时，能使1AC⊥面1CBD？解：（1）略；（2）略；（3）不妨设1111CDxCCACCC，，⊥平面1CBD，，则1111ACCBACCD，⊥⊥，而111111111CDCCCDACADDCCCADDCCC���，，由110ACCD�，得221111()()0ADDCCCCCCDCCCDCCADCDAD��，注意到1122xCCADCDAD�，可得方程21102xx，解得1x或12x（舍）．用心爱心专心因此，当11CDCC时能使1AC⊥平面1CBD．注：本题蕴涵转化思想，通过空间向量将空间中的垂直关系利用数量积转化到二次方程2210xx的正数根问题，特别是设11CC（特殊值）的技巧值得学习！（3）的原解答是先猜测1x，然后再给出证明，考生难以想到，使思路显得十分突兀！用心爱心专心