高三数学解题方法谈：化解体积问题备三招VIP免费

化解体积问题备三招体积问题是高考立体几何考查的一个重点内容，求解这类问题除了直接应用柱体、锥体等几何体的体积公式外，补形、分割、转换等特殊方法也是常备的招数.现各举一例，以飨读者.第一招补形法例1如图1，已知三棱锥PABC中，23410PABCPBAC，，241PCAB，试求三棱锥PABC的体积.分析：若按常规方法利用体积公式求解，底面积可以设法求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出.若能换个角度来思考，注意到三棱锥有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决.解：如图2所示，把三棱锥PABC补成一个长方体AEBGFPDC，易知三棱锥PABC的各边分别是长方体的面对角线.不妨令PExEByEAz，，，则由已知有2222221001366810164xyxzxyzyz，，，，，从而知PABCAEBGFPDCPAEBCABGBPDCAFPCVVVVVV16810468101606.故所求三棱锥PABC的体积为160.评析：补形法是立体几何中最为常用的辅助工具，它能将一般几何体的有关问题通过补形成特殊的几何体再求解.如本题将三棱锥补成特殊的长方体便可轻松求解.当然补形前后的两种图形的内在联系应该非常熟悉才是求解关键.第二招分割法例2如图3，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADEBCF△，△均为正三角形，2EFABEF∥，，则该多面体的体积为（）.（A）23（B）33（C）43（D）32分析：要直接求解组合几何体的体积显然较困难，若将这个组合几何体分割成几个特殊用心爱心专心的几何体求解，则问题可迎刃而解.解：过A作AG⊥EF，连结DG，由对称性，易知DG⊥EF；同理，过B作BH⊥EF，连结CH，也由对称性，易知CH⊥EF，从而有EF⊥面ADG，EF⊥面BCH.从而该多面体的体积等于直三棱柱ADGBCH与三棱锥EADG及三棱锥FBCH的体积之和.由已知1322EGFHAGDGBHCH，，24ADGBCHSS△△，12233EFABCDADGADGVSGHSEG△△.评析：对于简单组合几何体的体积求解通常可用化归转化思想分割或补形求解.第三招转换法例3在四棱锥EABCD中，底面ABCD为梯形，23ABDCABCDM∥，，为AE的中点，设EABCD的体积为V，那么三棱锥MEBC的体积为（）.（Ａ）25V（Ｂ）13V（Ｃ）23V（Ｄ）310V解析：设点B到面EMC的距离为1h，点D到面EMC的距离为2h.如图4，∵M是EA的中点，∴12MABCDVV，∴12EMBCEMDCVVV，而EMBCBEMCEMDCDEMCVVVV，.∴12EMBCBEMCEMDCDEMCVVhVVh.∵BD，到面EMC的距离即为到面EAC的距离.又∵23ABCD∥，1233210EMBChVVh，.故选（D）.评析：利用三棱锥的“变顶点法”结合“同底等高的两个锥体的体积相等”是求解体积问题的有效方法之一.解这类问题的关键是如何转移顶点，寻求底面与高的比例关系.用心爱心专心