高三数学解析几何中高考热点问题例析VIP专享VIP免费

解析几何中高考热点问题例析解析几何是历年高考必考内容,是一个热点,也是一个难点.由于这道题灵活性大,综合性强,得分率往往偏低,许多考生和老师感到头疼.本文拟就常见的问题作一归纳解析,以求对大家有所帮助.一求圆锥曲线的轨迹或轨迹方程例1:设，分别是椭圆：的左，右焦点．（1）当，且，时，求椭圆C的左，右焦点、．（2）、是（1）中的椭圆的左，右焦点，已知的半径是1，过动点的作切线，使得（是切点），如下图．求动点的轨迹方程．解：（1） ，∴．……2分又 ∴，∴由椭圆定义可知，，…6分从而得，，．∴、．（2） F1（-2，0），F2（2，0），由已知：，即，所以有：，设P（x，y），…9分则即（或）综上所述，所求轨迹方程为：用心爱心专心Q（x，y）MF1F2OyxQ（x，y）MF1F2OyxBANMF2F1yxo例2:如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e＝，左右两个焦分别为．过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.解：(Ⅰ) 轴，∴,由椭圆的定义得：， ，∴，又得∴∴，∴所求椭圆C的方程为．(Ⅱ)由（Ⅰ）知点A(－2,0)，点B为（0，－1），设点P的坐标为则，,由－4得－，∴点P的轨迹方程为设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得： 点在椭圆上，∴，整理得解得或∴点P的轨迹方程为或，用心爱心专心经检验和都符合题设，∴满足条件的点P的轨迹方程为或．二探究性问题例3已知椭圆的中心为原点，点是它的一个焦点，直线过点与椭圆交于两点，且当直线垂直于轴时，．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线，使得在椭圆的右准线上可以找到一点，满足为正三角形．如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，则．……①当垂直于轴时，两点坐标分别是和，，则，即．………②由①，②消去，得．或（舍去）．当时，．因此，椭圆的方程为．（Ⅱ）设存在满足条件的直线．(1)当直线垂直于轴时，由（Ⅰ）的解答可知，焦点到右准线的距离为，此时不满足．因此，当直线垂直于轴时不满足条件．（2）当直线不垂直于轴时，设直线的斜率为，则直线的方程为．由，设两点的坐标分别为和，则，．用心爱心专心．又设的中点为，则．当为正三角形时，直线的斜率为．，．当为正三角形时，，即＝，解得，．因此，满足条件的直线存在，且直线的方程为或．例4双曲线M的中心在原点，并以椭圆的焦点为焦点，以抛物线的准线为右准线.（Ⅰ）求双曲线M的方程；（Ⅱ）设直线：与双曲线M相交于A、B两点，O是原点.①当为何值时，使得?②是否存在这样的实数,使A、B两点关于直线对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.解：（Ⅰ）易知，椭圆的半焦距为：，又抛物线的准线为：.设双曲线M的方程为，依题意有，故，又.∴双曲线M的方程为.用心爱心专心（Ⅱ）设直线与双曲线M的交点为、两点联立方程组消去y得， 、两点的横坐标是上述方程的两个不同实根，∴∴，从而有，.又，∴.①若，则有，即.∴当时，使得.②若存在实数,使A、B两点关于直线对称，则必有，因此，当m=0时，不存在满足条件的k；当时，由得 A、B中点在直线上，∴代入上式得；又，∴将代入并注意到，得.∴当时，存在实数，使A、B两点关于直线对称.--14分三取值范围问题例5:已知平面上一定点和一定直线Ｐ为该平面上一动点，作垂足为，.(1)问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；(2)点Ｏ是坐标原点，两点在点Ｐ的轨迹上，若求的取值范用心爱心专心围．解:(1)由,得:,设,则,化简得:,点P在椭圆上,其方程为.(2)设、，由得：，所以，、B、C三点共线.且,得:,即:因为,所以①又因为,所以②由①-②得:,化简得:,因为,所以.解得:所以的取值范围为.例6:已知点（x，y）在椭圆C：（的第一象限上运动．（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若把轨迹的方程表达式记为，且在内有最大值，试求椭圆C的离心率的取值范围．解:（Ⅰ）设点（，）是轨迹上的动点，∴∴=，． 点（x，y）在椭圆C:（的第一象限上运动，则>0，>0．用心爱心专心∴．故所求的轨迹方程是（，）．（Ⅱ）由轨迹方程是...