简单多面体与球空间向量（理）一周强化一、一周知识概述主要复习为内容棱柱与棱锥、多面体、欧拉公式与球以及空间向量．了解棱柱、棱锥的概念，区别棱柱、直棱柱、正棱柱等概念；了解球的概念和性质，掌握球的表面积、体积公式，掌握它们的性质，理解空间向量概念，了解空间向量基本定理，会进行空间向量的运算，用空间向量解决空间的角、距离等问题。二、本周学习重点和难点剖析1、本周学习重点（1）棱柱的分类：（2）棱柱的主要性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形．（3）棱锥的主要性质①棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积比等于截得的棱锥的高和已知棱锥的高的平方比．②正棱锥各侧棱长相等，各侧面都是全等的等腰三角形．③正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形．（4）球面距离，是指经过球面上过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长．用心爱心专心（5）空间向量的重要性主要体现它的工具性，利用空间向量解决立体几何中一些问题所体现的快捷性、灵活性和实用性．是其它数学方法无法比拟的，如利用空间向量证明直线与平面垂直的判定定理就是很好的例证．在学习中，应强化运用向量解决问题的意识，在向量使用中充分培养利用向量代数运算进行推理的能力，充分利用空间向量知识，重点解决空间圆形中的平行、垂直、角和距离等问题．2、本周学习难点（1）难点之一是以棱柱、棱锥为载体的一些计算或证明题．学习中，除了牢固的把棱柱、棱锥的有关概念和性质、面积公式掌握好以外，还要灵活地运用有关知识进行位置关系的判断与论证．（2）难点之二是建立空间直角坐标系，解决有关的立体几何问题．空间向量的坐标运算，为解决立体几何问题提供有力的工具：夹角公式可求解立体几何中“线线”“线面成角问题”；空间两点间距离公式可计算空间线段的长度：⊥，∥为证明线线平行，线线垂直等问题带来了方便．例1、如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．(Ⅰ)求证：OD∥平面PAB；(Ⅱ)当k＝时，求直线PA与平面PBC所成角的大小；(Ⅲ)当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？例2、设正三棱锥P—ABC的底面边长为a，侧棱长为2a.过A作与PB、PC分别交于D、E的截面．（1）求截面三角形ADE的周长的最小值；用心爱心专心（2）求截面三角形ADE周长最小时的截面面积．例3、如图，A、B、C是表面积为48π的球面上三点，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O为球心，则直线OA与截面ABC所成的角是()例4、如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．(1)求证：CD⊥PD；(2)求证：EF∥平面PAD；(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？试题答案例1：分析：用心爱心专心本题以三棱锥为载体，考查空间线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力，直线与平面所成角和射影等知识。解：解法一(Ⅰ) O、D分别为AC、PC的中点：∴OD∥PA，又PA平面PAB，∴OD∥平面PAB.(Ⅱ) AB⊥BC，OA=OC，∴OA=OC=OB，又 OP⊥平面ABC，∴PA=PB=PC.取BC中点E，连结PE，则BC⊥平面POE，作OF⊥PE于F，连结DF，则OF⊥平面PBC，∴∠ODF是OD与平面PBC所成的角.又OD∥PA，∴PA与平面PBC所成角的大小等于∠ODF.在Rt△ODF中，sin∠ODF=，∴PA与平面PBC所成角为arcsin(Ⅲ)由(Ⅱ)知，OF⊥平面PBC，∴F是O在平面PBC内的射影. D是PC的中点，若F是△PBC的重心，则B、F、D三点共线，直线OB在平面PBC内的射影为直线BD， OB⊥PC.∴PC⊥BD，∴PB=BC，即k=1.反之，当k=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，用心爱心专心∴O在平面PBC内的射影为△PBC的重心.解法二： OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.以O为原点，射线OP为非负x轴，建立空间坐标系O-xyz（如图)，设AB=a，则A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0).设OP=h，则P(0，0，h).(Ⅰ) D为PC的中点，∴又∥，∴OD∥平面PAB.(Ⅱ...
