数形结合的思想（理）一周强化一、知识内容概要在研究与解决数学问题时，将反映问题的抽象的数量关系与直观的空间图形结合起来考察，也即将抽象思维与形象思维有机地结合起来解决问题的一种重要的数学解题方法，我们称它为“数形结合的思想方法”.通过对图形的认识、数形的转化，培养思想的灵活性、形象性，使问题化难为易，化抽象为具体.1、数形结合的应用主要有两种情形：（1）借助于数的精确性来阐明形的某些属性.如应用曲线的方程可以精确地阐明曲线的几何性质，应用数字可以表示平面图形的大小.（2）借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系.如一些函数的最值问题、值域问题，复数的模和辐角主值的最值问题，都可以利用平面几何或解析几何知识解决；不等式中比较大小问题也可以用图形解决.2、应用数形结合解题时要注意的一些问题：（1）注意数与形转化的等价性.将陌生、复杂的数学问题转化为简单、熟知的数学问题，一定要注意转化前后的问题是等价的。（2）注意利用“数”的精确性.一些判断公共点个数的问题，转化为图形后一定要“数”精确才能得出正确结论.（3）注意图形的全面性.有些数学问题所对应的图形不唯一，就必须根据不同情况作出相应的图形再进行讨论求解.（4）注意图形的时效性.数形结合对某些问题来说，在一定的条件下可以使用该方法，但一旦条件发生变化，就有可能不再适用了.在高考中，对数形结合的考查是重点，它可以联系代数与几何，一般以各种题型出现都有可能，结合二次曲线时，题目有点难度，除外都比较基础.二、精典例题解析例1、已知实数x，y满足x2＋y2=1，试求：（1）；（2）b=2x＋y的最值.用心爱心专心解答：（1），故知m之最值，即点A（－3，－1）与圆x2＋y2=1上的动点M（x，y）之连线斜率的最值，作图(1)知：当过A点的直线与圆切于M1时斜率最小；当切于M2时斜率最大，易计算出图(1)图(2)（2）由b=2x＋y，即求y=－2x＋b在y轴上截距的最值，作图(2)，经观察计算可得小结：此题是利用代数式具有的几何意义，将条件最值问题转化为直线的斜率和截距的最值问题．把已知条件直观化、形象化，就是把文字叙述和式子表达的已知条件转换成几何图形形象地表示出来．这样做不但能使人一目了然地对已知条件有一个全面的了解，而且通过图形能迅速地找到解题方法．例2、设a，b，c为非负实数，求证：用心爱心专心剖析：考虑不等式中各式的几何意义，分别表示边长为a，b；b,c；c,a的矩形的对角线长，而是表示边长为（a＋b＋c）的正方形的对角线的长度，可考虑把三个矩形和正方形联系在一起，构造一个边长为a＋b＋c的正方形来研究.解：如图.设正方形的边长为a＋b＋c，则，，显然|AB|＋|BC|＋|CD|≥|AD|，∴反思：构造几何图形研究数量关系是数形结合的重要方面之一.变式题：求证：答案：用心爱心专心不等式左边变形为，由点到直线的距离公式可知为点到点的距离的和，由三角形两边之和大于第三边有例3、解不等式：分析：一种方法是列出等价的不等式组求解；另一种方法是在同一坐标系内分别画出左、右两边函数的图像，再根据图像去分析．解法一：转化为解不等式组解法二：在同一坐标系内作的图像如图所示，并用解方程的方法求出交点A的横坐标为由图像知，原不等式的解集为用心爱心专心评注：相比之下，显然解法二简捷多了．按解法一的方法解时，往往忽略定义域，或没有分类讨论，漏掉了其中一个不等式组，解起来计算量比较大，像这样一类含字母系数的解不等式问题，通过图像求解，直观而简明，在求交点时需要计算，而在确定不等式解集时需要看图，体现了数与形的结合．例4、如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|=2，那么|z＋i＋1|的最小值为（）A．1B．C．2D．分析：从复数的几何意义分析：|z＋i|＋|z－i|=2，表示一条线段，线段端点分别为－i，i所对应的点，而|z＋i＋1|表示z与－1－i所对应两点间的距离，问题转化为求这个距离的最小值．解：如图所示，|z＋i|＋|z－i|=2表示z所对应的点P在以A(0,－1),B(0,1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示P点到Q(－1,－1)的距离，从图形不难看出，当P点与A点重合时，QA⊥AB，∴|PQ|≥|AQ|=1，故应选A．评注：用心爱心专心要注意|AB|=2，|z＋i|...
