三轮必做的导数综合题1、已知函数R，）.（I）求的单调区间；（II）曲线）处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；（III）若，曲线处的切线与x轴的交点为（），试比较的大小，并加以证明.解：（I）当在R上是减函数；当所以，区间的减区间，区间的增区间.…5分（II）在点处曲线切线的斜率为，切线方程令x=0，可得y=－6，所以切线恒守定点（0，－6）…………9分（III）点处曲线的切线方程为，令，，因为，所以2．已知函数f(x)=(Ⅰ)当时,求的最大值;(Ⅱ)设,是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.用心爱心专心115号编辑(Ⅰ)当-2≤<时，由=0得x1=显然-1≤x1<,０时，f（ｘ）＞恒成立,求正整数k的最大值。解：(1)函数的定义域为(2)＝＝－∵ｘ＞０，∴ｘ２＞０，＞０．lｎ（ｘ＋１）＞０。∴＜０。用心爱心专心115号编辑因此函数f（ｘ）在区间（０，＋∞）上是减函数．当-1g(0)=1>0,故此时＝－<0,因此,函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数.综上可知函数f(x)在(-1,0)和上都是减函数（3）当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立,令ｘ＝１有ｋ＜２又k为正整数．∴k的最大值不大于３．……..10分下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．即证当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．令ｇ（ｘ）＝＋１－２ｘ，则＝－１，当ｘ>ｅ－１时，＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，＜０．∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．∴当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．因此正整数k的最大值为３．4、已知函数和的图象在处的切线互相平行.(Ⅰ)求的值；（Ⅱ）设，当时，恒成立，求的取值范围.解：(Ⅰ).∵函数和的图象在处的切线互相平行,,.（Ⅱ）令用心爱心专心115号编辑∴当时，,当时，.∴在是单调减函数，在是单调增函数.，.∴当时，有，当时，有.∵当时，恒成立,∴∴满足条件的的值满足下列不等式组①，或②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得.综上所述，满足条件的的取值范围是：.5、已知函数的图象与直线相切于点。（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极小值。解：（1）∵，∴，∵函数在处的切线方程为，∴，∴（2）∵点在直线上，∴，∴，∵在的图象上，∴，∴由（1）得：，令，则，因此函数的单调递增区间为（1，+∞），令，则，因此函数的单调递减区间为（－1，1）∴当时，函数取得极小值6、已知函数．与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间．用心爱心专心115号编辑解：(1)∵过点∴a=-8,∴切线的斜率∵的图像过点∴4b+2c=0,∵,解得：b=8,c=-16∴切线方程为．即16x-y-32=0(2)∵当m<0时，∵m<0∴又x>1当时当时∴F(x)的单调减区间是∴F(x)的单调增区间是(1，)即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，)。7、已知函数，，（1）证明：当时，恒有（2）当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;解：（1）设，则=，当时，，所以函数在（0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。（2）设，用心爱心专心115号编辑则在（0，恒大于0，，，的根为0和即在区间（0，上，的根为0和若，则在单调递减，且，与在（0，恒大于0矛盾；若，在（0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以。用心爱心专心115号编辑
