三轮必做的导数综合题1、已知函数R,).(I)求的单调区间;(II)曲线)处的切线恒过y轴上一个定点,求此定点坐标;(III)若,曲线处的切线与x轴的交点为(),试比较的大小,并加以证明.解:(I)当在R上是减函数;当所以,区间的减区间,区间的增区间.…5分(II)在点处曲线切线的斜率为,切线方程令x=0,可得y=-6,所以切线恒守定点(0,-6)…………9分(III)点处曲线的切线方程为,令,,因为,所以2.已知函数f(x)=(Ⅰ)当时,求的最大值;(Ⅱ)设,是图象上不同两点的连线的斜率,否存在实数,使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.用心爱心专心115号编辑(Ⅰ)当-2≤<时,由=0得x1=显然-1≤x1<,0时,f(x)>恒成立,求正整数k的最大值。解:(1)函数的定义域为(2)==-∵x>0,∴x2>0,>0.ln(x+1)>0。∴<0。用心爱心专心115号编辑因此函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.当-1g(0)=1>0,故此时=-<0,因此,函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数.综上可知函数f(x)在(-1,0)和上都是减函数(3)当x>0时,f(x)>恒成立,令x=1有k<2又k为正整数.∴k的最大值不大于3.……..10分下面证明当k=3时,f(x)>(x>0)恒成立.即证当x>0时,+1-2x>0恒成立.令g(x)=+1-2x,则=-1,当x>e-1时,>0;当0<x<e-1时,<0.∴当x=e-1时,g(x)取得最小值g(e-1)=3-e>0.∴当x>0时,+1-2x>0恒成立.因此正整数k的最大值为3.4、已知函数和的图象在处的切线互相平行.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设,当时,恒成立,求的取值范围.解:(Ⅰ).∵函数和的图象在处的切线互相平行,,.(Ⅱ)令用心爱心专心115号编辑∴当时,,当时,.∴在是单调减函数,在是单调增函数.,.∴当时,有,当时,有.∵当时,恒成立,∴∴满足条件的的值满足下列不等式组①,或②不等式组①的解集为空集,解不等式组②得.综上所述,满足条件的的取值范围是:.5、已知函数的图象与直线相切于点。(1)求的值;(2)求函数的单调区间和极小值。解:(1)∵,∴,∵函数在处的切线方程为,∴,∴(2)∵点在直线上,∴,∴,∵在的图象上,∴,∴由(1)得:,令,则,因此函数的单调递增区间为(1,+∞),令,则,因此函数的单调递减区间为(-1,1)∴当时,函数取得极小值6、已知函数.与的图象都过点P(2,0),且在点P处有公共切线.(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程;(2)设,其中,求F(x)的单调区间.用心爱心专心115号编辑解:(1)∵过点∴a=-8,∴切线的斜率∵的图像过点∴4b+2c=0,∵,解得:b=8,c=-16∴切线方程为.即16x-y-32=0(2)∵当m<0时,∵m<0∴又x>1当时当时∴F(x)的单调减区间是∴F(x)的单调增区间是(1,)即m<0时,F(x)的单调递增区间是(1,),单调减区间是(,)。7、已知函数,,(1)证明:当时,恒有(2)当时,不等式恒成立,求实数k的取值范围;解:(1)设,则=,当时,,所以函数在(0,单调递增,又在处连续,所以,即,所以。(2)设,用心爱心专心115号编辑则在(0,恒大于0,,,的根为0和即在区间(0,上,的根为0和若,则在单调递减,且,与在(0,恒大于0矛盾;若,在(0,单调递增,且,满足题设条件,所以,所以。用心爱心专心115号编辑