高三数学专题复习专题05 点列、递归数列和数学归纳法(教师版)VIP免费

专题5点列、递归数列和数学归纳法★★★高考在考什么【考题回放】1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2(an-1)，则a2等于(A)A.4B.2C.1D.-22．在数列{}na中，121,2aa，且21(1)nnnaa*()nN，则10S35．3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1),则该数列的通项an=__2n+1-3___.4．对正整数n，设曲线)1(xxyn在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为na，则数列}1{nan的前n项和的公式是2n+1-2.5．已知n次式项式nnnnnaxaxaxaxP1110)(.若在一种算法中，计算),,4,3,2(0nkxk的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要65次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要2n次运算.yx用心爱心专心6．已知函数f(x)=32xx，数列｜xn｜(xn＞0)的第一项xn＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f(x)在))(,(11nnxfx处的切线与经过（0，0）和（xn,f(xn)）两点的直线平行（如图）.求证：当n*N时，(Ⅰ)x;231212nnnnxxx（Ⅱ）21)21()21(nnnx.【专家解答】(I)证明：因为'2()32,fxxx所以曲线()yfx在11(,())nnxfx处的切线斜率121132.nnnkxx即(0,0)和(,())nnxfx两点的直线斜率是2,nnxx以221132nnnnxxxx.（II）因为函数2()hxxx，当0x时单调递增，而221132nnnnxxxx21142nnxx211(2)2nnxx，所以12nnxx，即11,2nnxx因此1121211().2nnnnnnxxxxxxx又因为12212(),nnnnxxxx令2,nnnyxx则11.2nnyy因为21112,yxx所以12111()().22nnnyy因此221(),2nnnnxxx故1211()().22nnnx★★★高考要考什么【考点透视】用心爱心专心本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．【热点透析】高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、推理与综合能力．（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．★★★突破重难点【范例1】已知数列na中，对一切自然数n，都有10,an且02121nnnnaaaa．求证：(1)nnaa211；(2)若nS表示数列na的前n项之和，则12aSn．解析：(1)由已知02121nnnnaaaa得21112nnnaaa，又因为10,an，所以11021na,因此12nnaa，即nnaa211．(2)由结论(1)可知11221212121aaaannnn，即1121aann，于是21211111111211211222nnnSaaaaaaaa，即12aSn．【点睛】从题目的结构可以看出，条件02121nnnnaaaa是解决问题的关键，必须用心爱心专心从中找出1na和na的关系．【文】).1(0521681}{111naaaaaannnnn且满足记).1(211nabnn（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；（Ⅱ）求数列}{nb的通项公式及数列}{nnba的前n项和.nS解析（I）,052168,21121111nnnnnnnnaaaabaab代入递推关系得整理得,342,0364111nnnnnnbbbbbb即.320,4,38,2,143211bbbba所以有由（Ⅱ）由,03234),34(234,342111bbbbbnnnn所以故的等比数列公比是首项为,2,32}34{qbn11221241142,2(1).3333111,1221()21(12)513(251).1233nnnnnnnnnnnnnnnbbnbabbaSabababbbbnnn即...