开卷速查(二十五)平面向量基本定理及坐标表示A级基础巩固练1．已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a－b＝()A．(5,7)B．(5,9)C．(3,7)D．(3,9)解析：因为a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)，选A。答案：A2．[2016·广州模拟]若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC等于()A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)解析：因为CA＝(4,7)，所以AC＝(－4，－7)。又BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)，故BC＝(－2，－4)。答案：A3．[2016·丽江模拟]已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，则2a－b＝()A．(4,0)B．(0,4)C．(4，－8)D．(－4,8)解析：因为向量a＝(1，－2)，b＝(m,4)，且a∥b，所以1×4＋2m＝0，即m＝－2,2a－b＝2×(1，－2)－(－2,4)＝(4，－8)。答案：C4．[2016·兰州模拟]已知D为△ABC的边AB的中点M在DC上且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为()A.B.C.D.解析：由5AM＝AB＋3AC得2AM＝2AD＋3MC，即2(AM－AD)＝3(AC－AM)，即2DM＝3MC，所以DM＝DC，所以△ABM与△ABC同底且高的比为3∶5，所以S△ABM∶S△ABC＝3∶5，故选C。答案：C5．[2016·芜湖模拟]在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积，若向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，则∠C＝()A.B.C.D.解析：因为向量p＝(4，a2＋b2－c2)，q＝(1，S)满足p∥q，所以a2＋b2－c2－4S＝0，即4S＝a2＋b2－c2，则4×absinC＝a2＋b2－c2，即sinC＝＝cosC，则tanC＝1，解得C＝。故选A。答案：A6．[2016·临沂模拟]如图所示，A，B，C是⊙O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于⊙O外的一点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－1,0)解析：因为线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则OD＝tOC，因为D在圆外，所以t＜－1，又D，A，B共线，故存在λ，μ，使得OD＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1，又OC＝mOA＋nOB，所以tmOA＋tnOB＝λOA＋μOB。所以m＋n＝，所以m＋n∈(－1,0)。答案：D7．[2016·牡丹江模拟]如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为__________。解析：因为AP＝AB＋BP＝AB＋kBN＝AB＋k(AN－AB)＝AB＋k＝(1－k)AB＋AC，且AP＝mAB＋AC，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝。答案：8．△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，设向量m＝(3c－b，a－b)，n＝(3a＋3b，c)，m∥n，则cosA＝______。解析： m∥n，∴(3c－b)·c＝(a－b)(3a＋3b)，即bc＝3(b2＋c2－a2)。∴＝，∴cosA＝＝。答案：9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝______。解析：ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)。由于ma＋nb与a－2b共线，则有＝，∴n－2m＝12m＋8n，∴＝－。答案：－10．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)。求：(1)|a＋3b|；(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？解析：(1) a＝(1,0)，b＝(2,1)，∴a＋3b＝(7,3)，故|a＋3b|＝＝。(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)。 ka－b与a＋3b平行，∴3(k－2)＋7＝0，即k＝－。此时ka－b＝(k－2，－1)＝，a＋3b＝(7,3)，则a＋3b＝－3(ka－b)，即此时向量a＋3b与ka－b方向相反。B级能力提升练11．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－1)，OC＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O为坐标原点，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为__________。解析：AB＝OB－OA＝(a－1,1)，AC＝OC－OA＝(－b－1,2)。 A，B，C三点共线，∴AB∥AC。∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1。∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8。当且仅当＝，即b＝，a＝时取等号。∴＋的最小值是8。答案：812．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，A(1,0)，B(cosθ，t)。(1)若a∥AB，且|AB|＝|OA|，求向量OB的坐标；(2)若a∥AB，求y＝cos2θ－cosθ＋t2的最小值。解析：(1) AB＝(cosθ－1，t)，又a∥AB，∴2t－cosθ＋1＝0。∴cosθ－1＝2t。①又 |AB|＝|OA|，∴(cosθ－1)2＋t2＝5。②由①②得，5t2＝5，∴t2＝1。∴t＝±1。当t＝1时，cosθ＝3(舍去)，当t＝－1时，cosθ＝－1，∴B(－1，－1)，...
