¼×¼×专题二：概率、统计【知识精要】1．排列、组合问题的基本原理：加法（分类）和乘法（分步）原理。解决此类问题常见要点：（1）不重复，不遗漏；（2）正面考虑比较麻烦时，考虑间接法；（3）特殊位置、元素优先考虑；（4）转化思想，对于陌生问题，尽量转化为熟悉模型。2．隔板法模型：将个名额分给个人，每人至少一个的方法是；引申1：方程的解有组；引申2：方程的解有组。3．解决概率问题，必须对等可能事件、互斥事件、相互独立事件的模型要了如指掌。【例题精讲】+【习题精练】例1：3个人传球，由甲发球，5次传球之后，仍回到甲手中，有多少种传球方法？解：将问题转化为右图填图问题。中间可能有甲或无甲，则有种不同的传球方法。练习1：（2000全国高中数学联赛12题）如果：（1）a,b,c,d都属于{1,2,3,4};（2）ab,bc,cd,da;（3）a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.解：当恰有2个不同数字时，共组成种不同数字；当恰有3个不同数字时，共组成种不同数字；当恰有2个不同数字时，共组成种不同数字；所以总共有6+16=6=28种。例2：使直线和圆只有整数公共点的有序实数对的个数为（）A．72B．74C．78D．82解：第一象限圆上有三个整点，故平面上共有12个整点，分割线或切线，共有条，但该直线不过原点，应减去6条，故共有72条，选A。练习2：（05年江苏高中数学竞赛）由三个数字、、组成的位数中,、、都至少出现次,这样的位数共有.解：150在5位数中,若只出现次，有个；若只出现次，有个；若只出现次，有个．则这样的五位数共有个．故填个。例3：（2005全国高考试题改编）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，任选两条为异面直线的概率是：。解：全部情况有种，记“15条直线中任选两条为异面直线”为事件A，而要使两直线异面，只需四点不共面，且不共面的四点可连成3组异面直线，则事件A的可能情况有种，故。即任选两条为异面直线的概率为。练习3：（02年全国联赛题改编）已知点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么四点组（）在同一平面上的概率为．解：全部的基本事件有种，记“四点组（）在同一平面”为事件A，可能的情况有（1）从四个面选，有种；（2）含的每条棱上三个点与它异面的棱的中点组成四点共面，有三种情况。故事件A有30+3=33种不同结果。所以。例4：现有A、B、C、D四个长方体容器，A、B的底面积均为，高分别为；C、D的底面积均为，高也分别为（其中xy的概率为0.6）.现规定一种甲乙两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜，如果盛水相同则先取者负，甲在未能确定与大小的情况下先取了A，然后随机又取了一个，那么甲先取时胜乙的概率有多大？解：依题意可知,A、B、C、D四个容器的容积分别为，按照游戏规则，甲先取A，则只有三种不同的取法：①取A、B；②取A、C；③取A、D.问题的实质是比较两个容器和的大小.①若先取A、B，则后取者只能取C、D.，显然∴当时，，这时甲才胜.②若先取A、C，则后取者只能取B、D.，显然∴当时，，这时甲才胜.③若先取A、D，则后取者只能取B、C.又∴>0,即先取A、D时，甲必胜.甲先取A再取B或C的事件发生的概率为,且的概率为1-0.6=0.4，此时甲胜的概率为.同样，若甲先取A再取D的事件发生的概率为，此时甲胜的概率为所以，甲取胜的概率为+=.练习4：猎人在距离100米时开始射击野兔，命中率是。如果第一次未射中，则进行第二次射击，但此时射击距离为150米。如果第二次未射中，则进行第三次射击，但此时射击距离为200米。若第三次未射中，则不再射击，已知猎人命中概率和距离的平方成反比，求猎人命中野兔的概率。解：设三次射击为事件。，令，则所以，故命中野兔概率为。例5：（2005全国高中数学联赛）如果自然数的各位数字之和为7，那么称为“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小到大排成一列若，则。解：设为为吉祥数，，则（1）令，，则（1）为（2）方程（2）的正整数解的个数即为为吉祥数的个数，记为利用隔板法有个。而2005是形如的数中最小的吉祥数，对于四位吉祥数，其个数为满足的非负整数解的个数，即个，故2005是第个吉祥数，即，则，又，所以。而5位吉祥数中最后的5个倒过...
