第八章第八节抛物线题组一抛物线的定义及应用1.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D．12或－2解析：设标准方程为x2＝－2px(p＞0)，由定义知p到准线距离为4，故＋2＝4，∴p＝4，∴方程为x2＝－8y，代入P点坐标得m＝±4.答案：C2．(2010·洛阳模拟)过点M(1,0)作直线与抛物线y2＝4x交于A、B两点，则＋＝________.解析：设直线方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，∴＋＝＋＝＝1.答案：1题组二抛物线的标准方程及几何性质3.抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M到x轴的距离是()A.B.C．1D.解析：抛物线化标准方程为x2＝y，准线方程为y＝－，M到准线的距离为1，所以到x轴的距离等于1－＝.答案：D4．(2009·山东高考)设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A.若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()A．y2＝±4xB．y2＝±8xC．y2＝4xD．y2＝8x解析：不论a值正负，抛物线的焦点坐标都是(，0)，故直线l的方程为y＝2(x－)，令x＝0得y＝－，故△OAF的面积为×||×|－|＝＝4，故a＝±8.答案：B5．(2009·宁夏、海南高考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点．若P(2,2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________________________________________________________________________．1解析：设抛物线方程为y2＝ax.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，＝ax1，①y＝ax2，②∴①－②得－＝a(x1－x2)，∴(y1＋y2)·＝a，∴a＝4×1＝4，∴y2＝4x.答案：y2＝4x题组三直线与抛物线的位置关系6.已知过抛物线y2＝6x焦点的弦长为12，则此弦所在直线的倾斜角是()A.或B.或C.或D.解析：抛物线焦点是(，0)，设直线方程为y＝k(x－)，代入抛物线方程，得k2x2－(3k2＋6)x－k2＝0，设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋3＝12，解得k＝±1，∴直线的倾斜角为或.答案：B7．已知M(a,2)是抛物线y2＝2x上的一定点，直线MP、MQ的倾斜角之和为π，且分别与抛物线交于P、Q两点，则直线PQ的斜率为()A．－B．－C.D.解析：由题意得M(2,2)，设P(，y1)，Q(，y2)，由kMP＝－kMQ，得＝－，推得y1＋y2＝－4，故kPQ＝＝＝－.答案：B8．已知抛物线C的方程为x2＝y，过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)2B.∪C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－)∪(，＋∞)解析：过点A(0，－1)和点B(t,3)的直线方程为＝，即4x－ty－t＝0，由得2tx2－4x＋t＝0，Δ＝16－4×2t2<0，∴t<－或t>.答案：D题组四抛物线的综合问题9.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程．(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证：圆C过定点．解：(1)依题意，得＋4＝5，∴p＝2.∴抛物线标准方程为y2＝4x.(2)证明：设圆心C的坐标为，半径为r. 圆心C在y轴上截得的弦长为4，∴r2＝4＋2，故圆心C的方程为2＋(y－y0)2＝4＋2，从而变为－2yy0＋(x2＋y2－4)＝0，①对于任意的y0∈R，方程①均成立，故有解得所以，圆C过定点(2,0)．10．(2010·淄博模拟)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求·的值；(2)如果·＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)则y1＋y2＝4t，y1y2＝－43∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．11．(2009...
