圆锥曲线与其他知识的交汇问题核心考点·精准研析考点一圆锥曲线与数列交汇【典例】(2020·重庆模拟)已知椭圆+=1的离心率为,以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.(1)求椭圆的方程.(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A,B,过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C,D,与l3:x=4交于P,求证:直线PA,PF,PB的斜率kPA,kPF,kPB成等差数列.【解题导思】序号题目拆解(1)求椭圆方程根据离心率以及直线与圆的位置关系列出a,b的方程组求解(2)①求A、B两点坐标关系研究直线和圆锥曲线的基本过程——联立方程组,根与系数的关系②求点P的坐标联立两直线方程求解③求直线斜率,验证所证利用两点坐标表示斜率,化所证为等式关系进行验证【解析】(1)由题意知e==,所以=,即a2=b2,又因为以原点为圆心,以椭圆的短半轴长为半径的圆x2+y2=b2与直线x-y+=0相切,所以圆心到直线的距离d==b=,所以a2=4,b2=3,故椭圆的方程为+=1.(2)当直线l1的斜率不存在时,A(1,),B(1,-),C(2,0),D(-2,0),F(1,0),P(4,0).所以kPA=-,kPB=,kPF=0,所以2kPF=kPA+kPB.当直线l1的斜率存在时,设直线l1的方程为y=k,由得x2-8k2x+4k2-12=0.设点A(x1,y1),B,利用根与系数的关系得x1+x2=,x1x2=,由题意知直线l2的斜率为-,则直线l2的方程为y=-,令x=4,得P点的坐标,kPA+kPB=+=++=k×+×=k×+×=k×+×=-=2kPF,即kPA+kPB=2kPF,综上得,kPA,kPF,kPB成等差数列.圆锥曲线与数列的结合圆锥曲线与数列的结合点比较多,如圆锥曲线中的相关线段长度或参数成等差、等比数列等,解决此类问题的关键是利用数列的知识,将条件等价转化为相关数量之间的关系即可,其实质就是相关的数量之间的等式关系的一种外在表现.(2019·成都模拟)设圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,直线l过点F1(-2,0)且与x轴不重合,交圆F2于C,D两点,过点F1作CF2的平行线交DF2于点E.(1)求+的值.(2)设点E的轨迹为曲线E1,直线l与曲线E1相交于A,B两点,与直线x=-8相交于M点,试问在椭圆E1上是否存在一定点N,使得k1,k3,k2成等差数列(其中k1,k2,k3分别指直线AN,BN,MN的斜率).若存在,求出N点的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为圆x2+y2-4x-60=0的圆心为F2,所以=且F1E∥CF2,所以∠F2DC=∠F2CD=∠EF1D,所以=,所以+=|ED|+=,又因为圆F2的半径为8,即=8,所以+=8.(2)由(1)知,曲线E1是以F1,F2为焦点的椭圆,且长轴长为8,所以曲线E1的方程为+=1(y≠0),由题意,设直线l的方程为y=k(x+2),代入椭圆方程化简得x2+16k2x+16k2-48=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则x1+x2=-,x1x2=,所以k1+k2=+==,因为k1,k3,k2成等差数列,所以2k3=k1+k2,因为k3=,所以2×=,化简得24k3-24k2y0+24k-24y0=0,对任意的k该等式恒成立,所以x0=-2,此时y0=±3.所以存在点N(-2,±3)使得k1,k3,k2成等差数列.考点二圆锥曲线与向量交汇【典例】(2020·福州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,A,B是椭圆上关于原点O对称的两个动点,当点A的坐标为时,△ABF的周长恰为7.世纪金榜导学号(1)求椭圆的方程.(2)过点F作直线l交椭圆于C,D两点,且=λ(λ∈R),求△ACD面积的取值范围.【解题导思】序号题目拆解(1)利用椭圆的定义和对称性以及点A的坐标求a,b(2)①求|CD|将直线方程与椭圆方程联立,建立C、D两点坐标之间的关系,利用弦长公式求解②求△ACD面积求出点A到CD的距离,根据三角形面积计算公式建立目标函数③求范围根据目标函数解析式的特征,采用相应的方法,转化为函数的值域问题【解析】(1)当点A的坐标为时,==,所以|AB|=3.由对称性,+=2a,所以2a=7-3=4,得a=2,将点代入椭圆方程+=1中,解得b2=4,所以椭圆方程为+=1.(2)当直线AB的斜率不存在时,=2,此时S△ACD=×2×2=2.当直线AB的斜率存在时,设直线CD的方程为y=k(x+2)(k≠0).由消去y整理得:(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0.显然Δ>0,设C,D,则故=·=·=·=.因为=λ(λ∈R),所以CD∥AB,所以点A到直线CD的距离即为点O到直线CD的距离d=,所以S△ACD=××d=×==4=2=2,因为1+2k2>1,所以0<<1,所以0
