课时提升练(十五)导数的综合应用一、选择题1．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图2122所示，则下列叙述正确的是()图2122A．f(b)>f(c)>f(d)B．f(b)>f(a)>f(e)C．f(c)>f(b)>f(a)D．f(c)>f(e)>f(d)【解析】由图象得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；x∈(c，e)时，f′(x)<0；x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，c)上是增函数，在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，又af(b)>f(a)．【答案】C2．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，且f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19，由题意知，在[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，所以t≥20，则实数t的最小值为20.【答案】A3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0，对任意正数a，b，若a2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)【解析】由已知，[f(x)－(2x＋4)]′＝f′(x)－2>0，∴g(x)＝f(x)－(2x＋4)单调递增，又g(－1)＝0，∴f(x)>2x＋4的解集是(－1，＋∞)．【答案】B5．设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x∈[0，π]时，00.则函数y＝f(x)－sinx在[－2π，2π]上的零点个数为()1A．2B．4C．5D．8【解析】 f′(x)>0，当0，∴f(x)在上是增函数．当0lnx2－lnx1B．ex1－ex2x1ex2D．x2ex1g(x2)，∴x2ex1>x1ex2.【答案】C二、填空题7．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：x－10245y12021f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图2123所示．图2123(1)f(x)的极小值为________；(2)若函数y＝f(x)－a有4个零点，则实数a的取值范围为________．【解析】(1)由y＝f′(x)的图象可知，x(－1,0)0(0,2)2(2,4)4(4,5)f′(x)＋0－0＋0－f(x)↗极大值↘极小值↗极大值↘2∴f(2)为f(x)的极小值，f(2)＝0.(2)y＝f(x)的图象如图所示：若函数y＝f(x)－a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2.【答案】(1)0(2)[1,2)8．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________(强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)．【解析】截面如图所示，设抗弯强度系数为k，强度为ω，则ω＝kbh2，又h2＝d2－b2，∴ω＝kb(d2－b2)＝－kb3＋kd2b，ω′＝－3kb2＋kd2，令ω′＝0，得b2＝，∴b＝d或b＝－d(舍去)．∴h＝＝d.【答案】d9．已知函数y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值是1，则a＝________.【解析】 f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.当x<时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减，∴f(x)max＝f＝ln－a·＝－1，解得a＝1.【答案】1三、解答题10．(2013·北京...
