一、选择题1．(2011·深圳模拟)过点P(1，－3)的抛物线的标准方程是()A．x2＝y或x2＝－yB．x2＝yC．y2＝－9x或x2＝yD．x2＝－y或y2＝9x2．(2011·潍坊模拟)已知过抛物线y2＝x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，|AF|＝，则|BF|＝()A.B．1C.D.3．(2010·广州六校联考)若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为()A．－2B．2C．－4D．44．(2010·湖南高考)设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．125．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为()A．(，－1)B．(，1)C．(1,2)D．(1，－2)二、填空题6．(2011·诸暨模拟)抛物线y＝－x2的准线方程为________．7．过抛物线x2＝4y的焦点F作直线l，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若y1＋y2＝6，则|AB|等于________．8．(2011·广州模拟)若点P到直线y＝－1的距离比它到点(0,3)的距离小2，则点P的轨迹方程是________．三、解答题图8－8－19．(2011·深圳模拟)如图8－8－1，过抛物线y2＝4x上一点P(4,4)作两条直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线PA与PB的斜率互为相反数．(1)求y1＋y2的值；(2)证明直线AB的斜率是非零常数．10．抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为2，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程．11．在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A、B两点．(1)如果直线l过抛物线的焦点，求OA·OB的值；(2)如果OA·OB＝－4，证明直线l必过一定点，并求出该定点．1答案及解析1．【解】∵点P(1，－3)落在第四象限，故抛物线的标准形式为y2＝2px(p＞0)或x2＝2py(p＜0)，把P(1，－3)代入上式得9＝2p或－＝2p，∴其标准形式为y2＝9x或x2＝－y.【答案】D2．【解】∵y2＝x的准线方程为x＝－，又|AF|＝＋xA，∴xA＝，∴AB是抛物线的通径，由抛物线的对称性，知|BF|＝|AF|＝.【答案】C3．【解】由题意可知椭圆＋＝1的右焦点为(2,0)，∴＝2，∴p＝4.【答案】D4．【解】如图，抛物线的焦点为F(2,0)，准线为x＝－2，过抛物线上一点P作准线的垂线PE，连接PF，由抛物线的定义知：|PF|＝|PE|＝4＋2＝6.【答案】B5．【解】如图，∵点Q(2，－1)在抛物线的内部，由抛物线的定义，|PF|等于点P到准线x＝－1的距离．过Q作x＝－1的垂线QH交抛物线于点K，则点K为取最小值时的所求点．当y＝－1时，由1＝4x得x＝.所以点P的坐标为(，－1)．2【答案】A6．【解】把抛物线化成标准形式得x2＝－6y，故其准线方程为y＝.【答案】y＝7．【解】|AB|＝(y1＋)＋(y2＋)＝y1＋y2＋p＝6＋2＝8.【答案】88．【解】由题意可知点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0,3)的距离，故点P的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y＝－3为准线的抛物线，且p＝6，所以其标准方程为x2＝12y.【答案】x2＝12y9．【解】(1)设直线PA、PB的斜率分别为kPA、kPB.由y＝4x1，得kPA＝＝(x1≠4)，同理可得kPB＝(x2≠4)，由kPA＝－kPB可知＝－，∴y1＋y2＝－8.(2)证明∵y＝4x1，y＝4x2，∴kAB＝＝＝＝－＝－(常数)．10．【解】由题意，抛物线方程为x2＝2ay(a≠0)．设公共弦MN交y轴于A，则|MA|＝|AN|，即|AN|＝.∵|ON|＝3，∴|OA|＝＝2，∴N(±，±2)．∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±，当a＝时，抛物线x2＝y∴焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－.当a＝－时，抛物线x2＝－y焦点坐标为(0，－)，准线方程为y＝.11．【解】(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋1，代入抛物线方程y2＝4x，消去x得y2－4ty－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3.(2)设l：x＝ty＋b，代入抛物线方程y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.∴OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b.令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，∴直线l过定点(2,0)．34
