1各种辅助线作法一.与平行四边形有关的辅助线作法1.利用一组对边平行且相等构造平行四边形:当涉及到平行,且要求证的结论中和平行四边形的性质有关,可通过添加辅助线构造平行四边形.例1.如图,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.2.利用两组对边平行构造平行四边形:当图形中涉及到一组对边平行时,可通过作平行线构造另一组对边平行,得到平行四边形解决问题.例2.如图,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.3.利用对角线互相平分构造平行四边形:利用对角线互相平分构造平行四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.例3.已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.二、和菱形有关的辅助线的作法:连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.常见的方法:(1)作菱形的高;(2)连结菱形的对角线.例4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,E是AB上一点,且AE=AC,EF//BC交AD于点F,求证:四边形CDEF是菱形.例5.如图,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.2三、与矩形有辅助线作法:(1)计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;(2)证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.例6.如图,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求PD的长.四、与正方形有关辅助线的作法:作对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7.如图,过正方形ABCD的顶点B作BE//AC,且AE=AC,又CF//AE.求证:∠BCF=21∠AEB.四、与梯形有关辅助线的作法:(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;(4)延长两腰构成三角形;(5)作两腰的平行线等.例8.已知,如图9,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=AC,∠BAC=90°,BD=BC,BD交AC于点0.求证:CO=CD.例9.等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC⊥BD,AD+BC=10,DE⊥BC于E.求DE的长.3说明:当有对角线或垂直成梯形时,常作梯形对角线的平行线,构造平行四边形,等腰三角形或直角三角形来解决.六.与中点有关的辅助线作法1、有中线时可倍长中线,构造全等三角形或平行四边形.例10.已知:如图,AD为中线,求证:.类题10.已知:如图,AD为的中线,AE=EF.求证:BF=AC.2.有以线段中点为端点的线段时,加倍此线段,构造全等三角形或平行四边形.例11.已知:如图,在中,,M为AB中点,P、Q分别在AC、BC上,且于M.求证:.3.有中点时,可连结中位线.例12.(1)如图,中,D、E分别为AB、AC上点,且BD=CE,M、N为BE、CD中点,连MN交AB、AC于P、Q,求证:AP=AQ.ABDCABDCEFADPBCQEMNAPMQBC4(2)E、F分别为四边形ABCD的对角线中点,AB>CD.求证:.例13.如图,中,AD是高,CE为中线,,G为垂足,DC=BE.求证:(1)G是CE的中点;(2).4.有底边中点,连中线,利用等腰三角形“三线合一”性质证题例14.已知:如图,在中,,AB=AC,D为BC边中点,P为BC上一点,于F,于E.求证:DF=DE.例15.矩形ABCD,E为CB延长线上一点,且AC=CE,F为AE中点,求证:AEDGCBADFEBCAFEDPCBBDCFEA56.与梯形中点有关的辅助线:有腰中点时,常见以下三种引辅助线法例16.在直角梯形ABCD中,AD∥BC,,M为CD的中点.求证:AM=MB.七.和中位线有关辅助线的作法例17.如图,在四边形ABCD中,AC于BD交于点0,AC=BD,E、F分别是AB、CD中点EF分别交AC、BD于点H、G.求证:OG=OH.遇中点,常作中位线,借助中位线的性质解题.【课下作业】1、△ABC和△DBE为等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,A、B、D在同一直线上,M、N、P分别是AD、AC、DE边上的中点,说明MP与MN的关系并证明。ADFBC(1)EADBC(2)EGADBC(3)EEABDMCNMPEDCBA62、如上题A、B、D不在同一直线上,其余条件不变,上述结论是否发生变化?3、平行四边形ABCD,对角线相交于点O,P、E、F分别是AD、OB、OC的中点,AC=2AB。求证:PE=EF4、等腰梯形ABCD中,DC∥AB,∠AOB=60...