高一数学圆的方程教案三二．教学目标：1.掌握圆的一般方程，知道它的特点；2.能将圆的一般方程化为圆的标准方程，从而求出圆心坐标和半径；3.能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．三．教学重、难点：目标2，3．四．教学过程：（一）复习：写出圆的标准方程：．（二）新课讲解：1．圆的一般方程将上述标准方程展开，整理，得，可见，任何一个圆的方程都可以写成①的形式。反过来，形如①的方程的曲线是否一定是圆呢？（学生思考、探索）将①配方得：．②把方程②和圆的标准方程进行比较，可以看出：（1）当时，方程①表示以为圆心，为半径的圆；（2）当时，方程①表示一个点；（3）当时，方程①不表示任何图形．结论：当时，方程①表示一个圆，此时，我们把方程①叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程形式上的特点：（1）和的系数相同，且不等于；（2）没有这样的二次项．以上两点是二元二次方程表示圆的必要条件，但不是充分条件．说明：要求圆的一般方程，只要用待定系数法求出三个系数、、就可以了．（三）例题分析：例1．求过三点、、的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．解：设所求的圆方程为，∵、、在圆上，用心爱心专心117号编辑1∴解得，∴所求的圆方程为，圆心坐标为，半径为．注意：⑴由于所求的圆过原点，可设原的方程为；⑵本题也可以换一种说法：已知中，三个顶点的坐标分别、、，求的外接圆的方程．例2．已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．解：设是曲线上任意一点，由题意：，∴，化简得，①这就是所求的曲线方程．把方程①配方得：，所以方程①的曲线是以为圆心，为半径的圆．（作图）注意：本题也可以一般化已知一曲线是与两个定点、距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线．提示：以直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系，设，则可以按照上例的方法求解。可得：要注意讨论对曲线的形状的影响．例3．已知圆与直线相交于、两点，定点，若，求实数的值．解：设、，由，消去得：，①用心爱心专心117号编辑2由题意：方程①有两个不等的实数根，∴，，由韦答定理：，∵，∴，∴，即，即，②∵，∴，，代入②得：，即，∴，适合，所以，实数的值为．五．课堂练习：．六．小结：1．圆的一般方程及其形式特点；2．求圆的方程，应根据条件特点选择合适的方程形式：若条件与圆心、半径有关，则宜用标准方程；若条件主要是圆所经过的点的坐标，则宜用一般方程．七．作业：课本第82页习题补充：1．若圆与直线的交点为、，且（为原点），求的值．2．已知圆：，直线：，（1）证明：不论取何实数，直线与圆恒相交；（2）求直线被圆截得的线段的最短长度及此时直线的方程．用心爱心专心117号编辑3
