简单图形里的大乾坤江苏高邮第一中学黄国斌下图对于我们来说并不陌生，该图出现在高中数学（苏教版）必修二的封面上。我对该图做了一定的分析与理解，发现其可用来解决一些以该模型为载体设计出的几何题目，下面给大家简单介绍一下，希望能对大家有所帮助！OC1D1B1CABDA1一认识模型在正方体—中，三条面对角线、、所在的平面（阴影部分）与体对角线交于点，且有以下一些性质：性质1：⊥平面.下面给出证明.证明连结、分别交、于点、.∵⊥、⊥=∴⊥平面∵平面∴⊥同理可证⊥而=用心爱心专心FEOC1D1B1CABDA1∴⊥平面（证毕）性质2：点是等边三角形的中心证明可在上图中连结、由平面几何知识可证得：△≌△∴=同理可证得=而△是正三角形∴是△的中心.性质3：点分线段得解析：可利用三棱锥于三棱锥得等体积思想设正方体的边长为又因为性质4：三棱锥-的侧棱于底面所成的角相等证明：连接、、由性质1得，即侧棱、、于平面所成的角分别是、易证，所以有二应用举例用心爱心专心OC1D1B1CABDA1例1（2007江西高考题）如图正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点.则以下命题错误的命题是……（）点是△的垂心垂直平面的延长线经过点直线和所成的角为45°解析：观察一下便知该题正好于给出的模型想吻合因此有给出的性质1、性质2得：①体对角线即为、垂足是正△的中心,当然也就是垂心，所以答案是正确的.②∵∥∥很显然可证得平面∥平面又∵⊥平面∴⊥平面所以答案是正确的.③是一条题对角线，显然延长线经过点因此答案也正确的依据排除法可很快的选出.例2（2006山东淄博）如图在正方体—中，点在侧面，及边界上运动并且保持⊥,则动点的轨迹是…（）线段线段中点与中点连成的线段中点与中点连成的线段解析：由题意知⊥所在的平面，由图形可与给出的图形相联系再利用性用心爱心专心HDACD1B1C1A1BPC1D1B1CABDA1HD1C1B1CDABA1OFD1C1B1CDMABA1质1知可连结、、此时可由模型知⊥平面要使得点在侧面及边界上运动并且保持⊥则可得点轨迹应是线段.故选择答案.例3（线面角问题）如图在正方体—中，求直线与平面所成角的某个函数值解连结体对角线交平面于点，连结.由性质1得⊥平面∴∠即为于平面所成的角下面求于平面所成的角正弦值设正方体—的棱长为1则由性质3得，在Rt△中∴∠==例4（面面垂直问题）如图在正方体—中，已知为棱的中点，求证：平面⊥平面分析：因为体对角线⊥平面，所以只需证明在平面中找一条于平行的直线即可.现由题目中的为棱的中点可提示连结利用中位线.证明连结交平面于点，连结交于点，连。有前面给出的模型易证⊥平面∵在△中，点、分别为、的中点用心爱心专心KHD1C1B1CDABA1∴∥∴⊥平面又∵包含于平面∴平面⊥平面（证毕）.例5在棱长为的正方体—中，①求证：平面∥平面②求证：平面和平面的距离.①证明：可连结，易证⊥平面⊥平面.垂直于同一条直线的两个平面互相平行所以平面∥平面.②由①知即为平面和平面的距离。由性质3知=（易知=）以上即为我对该图形的简单理解，除了以上几个性质外望同学们能在此基础上感悟出更多的结论，高中数学中很多类问题具有结论具有很多有用的性质，望同学们平时在学习的时候要善于发现、学会概括、归纳、总结、这样会给今后的解题带来事半功倍的效率。邮编：225600手机：15161826366E-mail：hgb19820923@yahoo.com.cn用心爱心专心
