2．2.1椭圆及其标准方程1．椭圆(1)□平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，□这两个定点叫做椭圆的焦点，□两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．应用定义解题时，不要漏掉|MF1|＋|MF2|＝2a□>|F1F2|这一个条件．(2)集合的语言描述为P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a□>|F1F2|}．2．椭圆的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.()(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．()答案(1)√(2)×(3)√2．做一做(1)(教材改编P38“椭圆的定义”)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是()A．椭圆B．直线C．圆D．线段(2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为________________________．(3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝______，b＝______，c＝________.(4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为________．答案(1)A(2)＋＝1(3)32(4)6解析(1) |MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义可知，动点M的轨迹为椭圆．探究1椭圆的定义例1已知△ABC的周长是8，且B(－1,0)，C(1,0)，则顶点A的轨迹方程是()A.＋＝1(x≠±3)B.＋＝1(x≠0)C.＋＝1(y≠0)D.＋＝1(y≠0)[解析] |AB|＋|AC|＝8－|BC|＝6>|BC|＝2，∴顶点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，设其方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2.又 A，B，C三点不共线，∴顶点A的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．[答案]A拓展提升1.对椭圆定义的三点说明(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．2．椭圆定义的两个应用(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.【跟踪训练1】已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过点B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．解设圆P的半径为r.又圆P过点B，∴|PB|＝r.又 圆P与圆A内切，圆A的半径为10.∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．∴2a＝10,2c＝|AB|＝6，∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.即点P的轨迹方程为＋＝1.探究2椭圆标准方程的应用例2若方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()A．－9[解析]依题意可得解得0)，并且焦距为6，求实数m的值．解 2c＝6，∴c＝3.当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2，a2＝b2＋c2，得25＝m2＋9，∴m2＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25,a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.综上，实数m的值为4或.探究3椭圆的标准方程例3求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4,3)；(2)a＝8，c＝6；(3)经过两点P1，P2.[解](1)由题意得，2a＝＋＝12，得a＝6.又c＝2，∴b2＝a2－c2＝32.∴所求的椭圆的方程为＋＝1.(2) a＝8，c＝6，∴b2＝a2－c2＝6...
