第2课时函数奇偶性的应用[目标]1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法；2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题．[重点]利用函数奇偶性求函数解析式，求函数值．[难点]运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.知识点一函数奇偶性的性质[填一填]1．奇、偶函数代数特征的灵活变通由f(－x)＝－f(x)，可得f(－x)＋f(x)＝0或＝－1(f(x)≠0)；由f(－x)＝f(x)，可得f(－x)－f(x)＝0或＝1(f(x)≠0)．在判定函数的奇偶性方面，有时利用变通后的等式更为方便．2．函数奇偶性的重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数．(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．[答一答]1．什么函数既是奇函数又是偶函数？提示：设f(x)既是奇函数又是偶函数，则f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，故－f(x)＝f(x)，所以f(x)＝0，但定义域需关于原点对称．故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个，它们为f(x)＝0且其定义域是关于原点对称的非空数集．2．利用奇、偶函数的图象特征，直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系？提示：(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．知识点二函数奇偶性与单调性的联系[填一填]由于奇函数的图象关于原点对称，因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同，而偶函数的图象关于y轴对称，因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反，求解函数单调性与奇偶性的综合问题，要注意应用函数单调性和奇偶性的定义．[答一答]3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是f(－π)>f(3)>f(－2)．解析： f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).类型一利用函数的奇偶性求函数的值或解析式[例1](1)已知函数f(x)＝ax3－bx＋3(其中a、b为常数)，若f(3)＝2015，则f(－3)＝________.(2)已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．[答案](1)－2009(2)见解析[解析](1)法1：设g(x)＝f(x)－3，则g(x)＝ax3－bx，显然g(x)为R上的奇函数．又g(3)＝f(3)－3＝2015－3＝2012，所以g(－3)＝－g(3)，即f(－3)－3＝－2012，解得f(－3)＝－2009.法2：f(x)＋f(－x)＝6，f(－3)＝6－f(3)＝6－2015＝－2009.(2)解：设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1.又 f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.∴x<0时，f(x)＝x3＋x－1.又f(x)是奇函数且在x＝0处有意义，则f(0)＝0.∴f(x)＝1利用奇偶性求函数解析式时，求哪个区间的解析式就设x在哪个区间，然后转化代入已知区间的解析式，根据fx与f－x的关系求fx.2本题中是求x∈R时的函数解析式，不要忘记x＝0的特殊情况.[变式训练1](1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于(B)A．4B．3C．2D．1(2)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则x<0时，f(x)＝x2－x.解析：(1) f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴f(－1)＋g(1)＝2，即－f(1)＋g(1)＝2.①f(1)＋g(－1)＝4，即f(1)＋g(1)＝4.②由①＋②得g(1)＝3，故选B.(2)设x<0，则－x>0.∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.又 f(x)是定义域为R的偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，∴当x<0时，f(x)＝x2－x.类型二函数的奇偶性与单调性的综合应用命题视角1：比较大小[例2]若f(x)是偶函数，其定义域为(－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是减函数，则f与f的大小关系是()A．f>fB．f
