3.2双曲线3.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1.理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2．掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1.通过双曲线概念的学习，培养学生的数学抽象的核心素养．2．通过双曲线标准方程的求解、与双曲线有关的轨迹问题的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理及数学抽象等核心素养.做下面一个实验．(1)取一条拉链，拉开一部分．(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上．(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？1．双曲线的定义文字语言平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹.符号语言||PF1|－|PF2||＝常数(常数＜|F1F2|)焦点定点F1，F2焦距两焦点间的距离思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程－＝1中，a＞0，b＞0且a≠b．()(3)双曲线标准方程中，a，b的大小关系是a＞b．()[提示](1)×(2)×(3)×2．双曲线－＝1的焦距为()A．3B．4C．3D．4D[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]3．平面内有两个定点F1(－5,0)和F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是()A．－＝1(x≤－4)B．－＝1(x≤－3)C．－＝1(x≥4)D．－＝1(x≥3)[答案]D4．(教材P121练习T3改编)已知方程－＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是________．(－∞，－2)[由双曲线标准方程的特点知2＋m＜0且－(m＋1)＞0，解得m＜－2.即m的取值范围为(－∞，－2)．]求双曲线的标准方程【例1】根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)a＝4，经过点A；(2)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)；(3)过点P，Q且焦点在坐标轴上．[思路探究](1)结合a的值设出标准方程的两种形式，将点A的坐标代入求解．(2)因为焦点相同，所以所求双曲线的焦点也在x轴上，且c2＝16＋4＝20，利用待定系数法求解，或设出统一方程求解．(3)双曲线焦点的位置不确定，可设出一般方程求解．[解](1)当焦点在x轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把点A的坐标代入，得b2＝－×<0，不符合题意；当焦点在y轴上时，设所求标准方程为－＝1(b>0)，把A点的坐标代入，得b2＝9.故所求双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一： 焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20.① 双曲线经过点(3，2)，∴－＝1.②由①②得a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1.法二：设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16)． 双曲线过点(3，2)，∴－＝1，解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．∴双曲线的标准方程为－＝1.(3)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. 点P，Q在双曲线上，∴解得∴双曲线的标准方程为－＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a2，b2的数值，常由条件列方程组求解．2．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a，b，c，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程－＝1或－＝1(a，b均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．提醒：若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1的形式，...
