2.4圆的方程2.4.1圆的标准方程学习目标核心素养1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点．(重点)2.会根据已知条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.能准确判断点与圆的位置关系．(易错点)通过对圆的标准方程的学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．请问游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点O为圆心、半径为r的圆．思考：平面内确定圆的要素是什么？[提示]圆心坐标和半径．2．点与圆的位置关系(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d＞r(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2点在圆上d＝r(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内d＜r(x0－a)2＋(y0－b)2＜r21．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．()(2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.()(3)圆心是原点的圆的标准方程是x2＋y2＝r2(r＞0)．()[提示](1)×(2)×(3)√2．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是()A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3C．(－2,3)，D．(2，－3)，D[由圆的标准方程可得圆心为(2，－3)，半径为.]3．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝B[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.]4．已知点P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m的内部，则实数m的取值范围是________．m＞10[由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得m＞10.]点与圆的位置关系【例1】已知圆的圆心M是直线2x＋y－1＝0与直线x－2y＋2＝0的交点，且圆过点P(－5,6)，求圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外？[思路探究]先求出两直线的交点坐标即圆心坐标，再求出半径并写出方程；求出A，B，C各点与圆心的距离，分别与半径比较，判断出点与圆的位置关系．[解]解方程组得∴圆心M的坐标为(0,1)，半径r＝|MP|＝＝5.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50. |AM|＝＝＜r，∴点A在圆内． |BM|＝＝＝r，∴点B在圆上． |CM|＝＝＞r，∴点C在圆外．∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50，且点A在圆内，点B在圆上，点C在圆外．1.判断点与圆的位置关系的方法(1)只需计算该点与圆的圆心距离，与半径作比较即可；(2)把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的符号，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．[跟进训练]1．已知圆心为点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．[解]因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，所以圆的半径r＝＝5，所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.因为|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内；因为|P2C|＝＝5，所以P2(1，－1)在圆上；因为|P3C|＝＝6>5，所以P3(3，－4)在圆外.求圆的标准方程【例2】求过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．[思路探究]法一：利用待定系数法，设出圆的方程，根据条件建立关于参数方程组求解；法二：利用圆心在直线上，设出圆心坐标，根据条件建立方程组求圆心坐标和半径，从而求圆的方程；法三：借助圆的几何性质，确定圆心坐标和半径，从而求方程．[解]法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：设点C为...
