2.2.3直线的一般式方程学习目标核心素养1.掌握直线的一般式方程．(重点)2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(重点、难点)3.会进行直线方程的五种形式之间的转化．(难点、易混点)通过学习直线五种形式的方程相互转化，提升逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养.初中我们学习过二元一次方程，它的具体形式是Ax＋By＋C＝0，前面我们又学习了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，斜截式：y＝kx＋b，两点式＝和截距式：＋＝1.它们都可以化成为二元一次方程的这种形式，同时在一定条件下，这种形式也可以转化为斜截式和截距式，我们把Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)叫做直线的一般式，下面进入今天的学习．直线的一般式方程(1)定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．(2)适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．(3)系数的几何意义：①当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；②当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．思考：当A＝0或B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？[提示](1)若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线．(2)若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线．(3)若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．()(2)直线的其他形式的方程都可化为一般式．()(3)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)一定表示直线．()[提示](1)√(2)√(3)√2．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为()A．A≠0B．B≠0C．A·B≠0D．A2＋B2≠0D[方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A，B不能同时为0，即A2＋B2≠0.故选D.]3．已知直线2x＋ay＋b＝0在x轴、y轴上的截距分别为－1，2，则a，b的值分别为()A．－1,2B．－2,2C．2，－2D．－2，－2A[y＝0时，x＝－＝－1，解得b＝2，当x＝0时，y＝－＝－＝2，解得a＝－1.]4．直线3x－y＋1＝0的倾斜角为________．60°[把3x－y＋1＝0化成斜截式得y＝x＋，∴k＝，倾斜角为60°.]5．直线－＝1的一般式方程是________．3x－2y－6＝0[由－＝1得3x－2y－6＝0.]直线的一般式方程与其他形式的互化【例1】(1)已知直线l的一般式方程为2x－3y＋6＝0，请把一般式方程写成为斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐标轴上的截距．(2)根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．①斜率是－，经过点A(8，－2)；②经过点B(4,2)，平行于x轴；③在x轴和y轴上的截距分别是，－3；④经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．[解](1)由l的一般式方程2x－3y＋6＝0得斜截式方程为：y＝x＋2.截距式方程为：＋＝1.由此可知，直线的斜率为，在x轴、y轴上的截距分别为－3,2.(2)①由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.②由斜截式得y＝2，即y－2＝0.③由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0.④由两点式得＝，即x＋y－1＝0.1．求直线一般式方程的方法2．由直线方程的一般式转化为四种特殊形式时，一定要注意其运用的前提条件．[跟进训练]1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．(1)斜率是且经过点A(5,3)；(2)经过A(－1,5)，B(2，－1)两点；(3)在x，y轴上的截距分别是－3，－1.[解](1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y－3＝(x－5)，化为一般式方程为x－y＋3－5＝0.(2)由两点式方程可知，所求直线方程为＝，化为一般式方程为2x＋y－3＝0.(3)由截距式方程可得，所求直线方程＋＝1，化为一般式方程为x＋3y＋3＝0.直线的平行与垂直【例2】(1)已知直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；(2)当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直．[思路探究]利用两直线平行与垂直的条件，但要注意斜率的存在与否．[解]法一：(1)由l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0知：①当m＝0时，显然l1与l2不平行．②当m≠0时，要使l1∥l2，需＝≠.解得m＝2或m＝－3，∴m的值为2或－3.(2)由题意知，直线l1⊥l2.①若1－a＝0，即a＝1时，直...
