2.2.2直线的两点式方程学习目标核心素养1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围．(重点)2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围．(重点)3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.1.通过直线两点式方程的推导，提升逻辑推理的数学素养.2.通过直线的两点式方程和截距式方程的学习，培养直观想象和数学运算的数学素养.某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东P处，如图所示．公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1km和4km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交汇于A、B两处，并使区商业中心O到A、B两处的距离之和最短．在上述问题中，实际上解题关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A、B能否确定？1．直线的两点式和截距式方程名称两点式方程截距式方程已知条件P1(x1，y1)，P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且a≠0，b≠0.示意图直线方程＝＋＝1适用范围斜率存在且不为零斜率存在且不为零，不过原点思考：方程＝和方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)的适用范围相同吗？[提示]不同．前者为分式形式方程，它不表示垂直于坐标轴的直线，后者为整式形式方程，它表示过任何两点的直线．2．线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，则1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线的两点式方程也可以用＝(x1≠x2，y1≠y2)表示．()(2)任何直线都可以用方程＋＝1表示．()(3)能用两点式写出的直线方程，也可以用点斜式方程写出．()[提示](1)×(2)×(3)√2．过点A(3,2)，B(4,3)的直线方程是()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋1＝0D．x－y－1＝0D[由直线的两点式方程，得＝，化简，得x－y－1＝0.]3．若直线l经过点A(2,5)，B(2,7)，则直线l的方程为________．x＝2[因为两点的横坐标相等，都是2，所以直线方程是x＝2.]4．直线y＝3x＋2在x轴上的截距是________．－[令y＝0得x＝－，即在x轴上的截距为－.]直线的两点式方程【例1】(1)若直线l经过点A(2，－1)，B(2,7)，则直线l的方程为________．(2)若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝________.(1)x＝2(2)－2[(1)由于点A与点B的横坐标相等，所以直线l没有两点式方程，所求的直线方程为x＝2.(2)由直线方程的两点式得＝，即＝.∴直线AB的方程为y＋1＝－x＋2， 点P(3，m)在直线AB上，则m＋1＝－3＋2，得m＝－2.]由两点式求直线方程的步骤(1)设出直线所经过点的坐标．(2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标．(3)由直线的两点式方程写出直线的方程．提醒：当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴．若满足，则考虑用两点式求方程．[跟进训练]1．求经过两点A(2，m)和B(n,3)的直线方程．[解]当m＝3时，直线垂直于y轴，方程为y＝3，当n＝2时，直线垂直于x轴，方程为x＝2.当m≠3且n≠2时，由两点式得直线方程为＝.直线的截距式方程【例2】求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距相等的直线l的方程．[思路探究][解]设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1. 点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，若a＝b，则a＝b＝1，直线方程为x＋y－1＝0.②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，∴直线的方程为3x＋4y＝0.综上知，所求直线方程为x＋y－1＝0或3x＋4y＝0.1．[变条件]本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”，求直线l的方程．[解]当截距均为零时，设直线方程为y＝kx，把点(4，－3)代入得－3＝4k，解得k＝－，所求的直线方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.当截距均不为零且相反时，可设直线方程为＋＝1，把点(4，－3)代入得＋＝1，解得a＝7，所求直线方程为＋＝1，即x－y－7＝0，故所求l的方程为x－y－7＝0或3x＋4y＝0.2．[变条件]本例中把“相等”改为“绝对值相等呢？”[解]当直线在两轴上的截距的绝对值相等时，包括：①两截距均为零，即3x＋4y＝0②两截距均不为零且相等即x＋y－1＝0.③两截距均不为零且相反即x－y－7＝0.故所求的直线方程为x－y－7＝0或x＋y－1＝0或...
