2.4抛物线2.4.1抛物线及其标准方程学习目标核心素养1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2．掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3．明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养．2．通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)Fx＝－y2＝－2px(p>0)Fx＝x2＝2py(p>0)Fy＝－x2＝－2py(p>0)Fy＝思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．1．抛物线x2＋8y＝0的焦点坐标是()A．(0,2)B．(0，－2)C．(0,4)D．(0，－4)B[抛物线x2＝－8y的焦点在y轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(0，－2)．]2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4．]3．抛物线x＝4y2的准线方程是()A．y＝B．y＝－1C．x＝－D．x＝C[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－．]4．抛物线y2＝－12x上与焦点的距离等于9的点的坐标是________．(－6,6)或(－6，－6)[由y2＝－12x知p＝6，准线方程为x＝3，设抛物线上点P(x，y)，由抛物线定义可知－x＋3＝9，x＝－6，将x＝－6代入y2＝－12x，得y＝±6，所以满足条件的点为(－6,6)或(－6，－6)．]求抛物线的标准方程【例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．思路探究：(1)(2)(3)(4)→[解](1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y．(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y．(3) 点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝．∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y．(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x．1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题(1)把握开口方向与方程间的对应关系．(2)当抛物线的类型没有确定时，可设方程为y2＝mx或x2＝ny，这样可以减少讨论情况的个数．(3)注意p与的几何意义．[跟进训练]1．若抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8[答案]D抛物线的定义的应用【例2】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点的距离为5，求m的值、抛物线方程和准线方程；(2)已知抛物线y2＝4x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，对于定点A(4,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时的P点坐标；(3)已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，求动圆圆心M的轨迹方程．思路探究：(1)利用抛物线定义先求抛物线的方程，再求m和准线方程．(2)利用抛物线的定义，把|PF|转化为到准线的距离．(3)利用|MC|的长度比点M到直线y＝2的距离大1求解．[解](1)设所求抛物线方程为x2＝－2p...
