2.2椭圆2.2.1椭圆及其标准方程学习目标核心素养1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题学习，培养学生的数学运算素养．2．借助轨迹方程的学习，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养．1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2．(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10D[由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10．]2．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，故椭圆的方程为＋＝1．]3．已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2作直线AB，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点，则△AF1B的周长为________．40[由已知得a＝10，△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝40．]4．椭圆8k2x2－ky2＝8的一个焦点坐标为(0，)，则k的值为________．－1或－[原方程可化为＋＝1．依题意，得即所以k的值为－1或－．]求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9．故所求椭圆的标准方程为＋＝1．(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1．故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1．(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1．②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1．1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．[跟进训练]1．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．＋y2＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1[答案]B椭圆中的焦点三角形问题【例2】(1)椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则∠F1PF2的大小为________．(2)设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．思路探究：(1)→→(2)在△PF1F2中应用余弦定理结合椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝10可以求得|PF1|·|PF2|，进而可求面积．(1)120°[由＋＝1，知a＝3，b＝，∴c＝．∴|PF2|＝2a－|PF1|＝2，∴cos∠F1PF2＝＝－，∴∠F1PF2＝120°．](2)解：由椭圆方程知，a2＝25，b2＝，所以c2＝，所以c＝，2c＝5．在△PF1F2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|．①由椭圆的定义得10＝|PF1|＋|PF2|，即100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|...
