2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学习目标核心素养1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)1．通过抛物线的定义及标准方程的学习，培养直观想象的素养.2.借助抛物线的定义解题，提升逻辑推理的素养.1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？[提示]点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．2．抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)Fx＝－y2＝－2px(p>0)Fx＝x2＝2py(p>0)Fy＝－x2＝－2py(p>0)Fy＝思考2：(1)抛物线方程中p(p>0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？[提示](1)p的几何意义是焦点到准线的距离．(2)根据抛物线方程中一次式±2px，±2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“±2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上．1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是()A．(2,0)B．(－2,0)C．(4,0)D．(－4,0)B[抛物线y2＝－8x的焦点在x轴的负半轴上，且＝2，因此焦点坐标是(－2,0)．]2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．8C[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]3．抛物线x＝4y2的准线方程是()A．y＝B．y＝－1C．x＝－D．x＝C[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]求抛物线的标准方程【例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y＝；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(－3，－1)；(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．[解](1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.(3) 点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2＝ax或x2＝ay(a≠0)的形式，以简化讨论过程．[跟进训练]1．(1)若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点是椭圆＋＝1的一个焦点，则p＝()A．2B．3C．4D．8(2)已知抛物线C的准线与直线x＝－3之间的距离等于5，则抛物线C的标准方程为________．(1)D(2)y2＝32x或y2＝－8x[(2)由题意可知抛物线的准线方程为x＝－8或x＝2，即抛物线C的标准方程为y2＝32x或y2＝－8x.]抛物线方程的实际应用【例2】某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4m，此车能否通过此隧道？请说明理由．[思路点拨]可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．[解]建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，当x＝3时，y＝－3，即点(3，－3)在抛物线上．代入得2p＝3，故抛物线方程为x2＝－3y.已知集装箱的宽为3m，当x＝时，y＝－，而隧道高为5m，所以5－＝4>4.故卡车可通过此隧道．求抛物线实际应用的五个步骤[跟进训练]2．一辆...
