2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程学习目标核心素养1．理解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．(重点)2.掌握双曲线的标准方程及其求法．(重点)3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．(难点)1．通过双曲线的学习，培养学生直观想象的素养.2.借助双曲线标准方程的推导，提升数学运算的素养.1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．思考：(1)双曲线定义中，将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)双曲线的定义中，若|MF1|－|MF2|＝2a(常数)，且2a<|F1F2|，则点M的轨迹是什么？[提示](1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线，端点分别是F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．(2)点M在双曲线的右支上．2．双曲线的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)a，b，c的关系c2＝a2＋b21．已知动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线D[ |PM|－|PN|＝2＝|MN|，∴点P在线段MN的延长线上，即点P的轨迹是一条射线．]2．双曲线－＝1的焦距为()A．3B．4C．3D．4D[c2＝10＋2＝12，所以c＝2，从而焦距为4.]3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A．－＝1B．－＝1C．－＝1或－＝1D．－＝0或－＝0C[b2＝c2－a2＝72－52＝24，故选C．]对双曲线标准方程的理解【例1】已知曲线方程－＝1.(1)若方程表示双曲线，求实数m的取值范围；(2)若方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数m的取值范围；(3)若方程表示椭圆，求实数m的取值范围．[解](1)依题意有(m－1)(m2－4)>0，即(m－1)(m＋2)(m－2)>0，解得－22.(2)依题意有解得－20；2表示焦点在x轴上的双曲线的条件是m>0，n>0；3表示焦点在y轴上的双曲线的条件是m<0，n<0；4表示椭圆的条件是m>0，n<0.[跟进训练]1．(1)已知双曲线＋＝1，焦点在y轴上，若焦距为4，则a等于()A．B．5C．7D．(2)在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在y轴上的椭圆(1)D(2)C[(1)根据题意可知，双曲线的标准方程为－＝1.由其焦距为4，得c＝2，则有c2＝2－a＋3－a＝4，解得a＝.(2)方程mx2－my2＝n可化为－＝1.由mn<0知<0，故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线．]求双曲线的标准方程【例2】根据下列条件求双曲线的标准方程．(1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线经过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．[思路点拨]用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．[解](1)法一(待定系数法)由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，将点A(4，－5)代入双曲线方程得－＝1，又a2＋b2＝9，解得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为－＝1.法二(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上，则2a＝||AF1|－|AF2||＝|－|＝2，∴a＝，∴b2＝c2－a2＝9－5＝4.即双曲线的标准方程为－＝1.(2)法一若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，所以解得若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．同理有解得(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为－＝1.法二设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得解得所以所求双曲线的标准方程为－＝1.1．求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值．2．当双曲线的焦点所在坐标...
