2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程学习目标核心素养1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)1．通过椭圆定义的学习，培养学生的数学直观想象的素养.2．借助椭圆标准方程的推导，培养数学运算的素养.1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．思考：(1)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？(2)椭圆定义中将“大于|F1F2|”改为“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，动点的轨迹是什么？[提示](1)点的轨迹是线段F1F2.(2)当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c)a，b，c的关系c2＝a2－b21．下列说法中正确的是()A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆C[结合椭圆的定义可知选项C满足椭圆的定义，故选C．]2．已知椭圆＋＝1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，到另一焦点距离为7，则m等于()A．10B．5C．15D．25D[由题意知2a＝3＋7＝10，∴a＝5，∴m＝a2＝25.]3．椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1C[由题意知c＝8,2a＝20，∴a＝10，∴b2＝a2－c2＝36，又焦点在y轴上，故椭圆的方程为＋＝1.]求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点A(，－2)和点B(－2，1)．[解](1)由于椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．∴a＝2，b＝1.故所求椭圆的标准方程为＋x2＝1.(3)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得故所求椭圆的标准方程为＋＝1.②当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．依题意有解得因为a＞b＞0，所以无解．所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.1．利用待定系数法求椭圆的标准方程(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．因为它包括焦点在x轴上(m＜n)或焦点在y轴上(m＞n)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化运算．[跟进训练]1．写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过两点(2，－)，－1，.[解](1)焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则a2＝16，b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)⇒⇒⇒∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.(3)法一(分类讨论法)若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由已知条件得解得则a2b>0矛盾，舍去．综上，所求椭圆的标准方程为＋＝1.法二(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．将两点(2，－)，－1，代入，得解得所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.椭圆的定义及其应用【例2】(1)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A．＋y2＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1(2)已知椭圆＋＝1中，点P是椭圆上一点...
