10.1.2复数的几何意义学习目标核心素养1.了解复平面、实轴、虚轴、共轭复数等概念．(易混点)2．掌握复数的几何意义，并能适当应用．(重点、易混点)3．掌握复数模的定义及求模公式．(重点)通过复数的几何意义的学习，提升直观想象、逻辑推理素养.我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可用数轴上的点来表示，那么复数是否也能用点来表示呢？思考：(1)复数相等的充要条件表明，任何一个复数a＋bi(a，b∈R)都可由一个有序实数对(a，b)唯一确定，而有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，那么，我们怎样用平面内的点来表示复数呢？(2)我们知道平面直角坐标系中的点A与以原点O为起点、A为终点的向量OA是一一对应的，那么复数能用平面向量来表示吗？1．复平面建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面．在复平面内，x轴上的点对应的都是实数，x轴称为实轴，y轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，因此称y轴为虚轴．x轴的单位是1，y轴的单位是i.实轴与虚轴的交点叫做原点，原点(0,0)对应复数0.2．复数的几何意义平面直角坐标系中的点Z(a，b)唯一确定一个以原点O为始点，Z为终点的向量OZ，则(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)．(2)复数z＝a＋bi平面向量OZ.3．复数的模、共轭复数(1)复数的模设OZ＝a＋bi(a，b∈R)，则向量OZ＝(a，b)的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，复数z的模用|z|表示，因此|z|＝.(2)共轭复数①如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数．复数z的共轭复数用表示．②在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数．[拓展]在复平面内，共轭复数表示的两个点关于实轴对称．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()[答案](1)√(2)×(3)×2．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限C[z＝－1－2i对应点Z(－1，－2)，位于第三象限．]3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为()A．1或3B．1C．3D．2A[依题意可得＝2，解得m＝1或m＝3.]4．若复数z1＝3＋ai，z2＝b＋4i(a，b∈R)，且z1与z2互为共轭复数，则z＝a＋bi的模为________．5[ z1＝3＋ai，z2＝b＋4i互为共轭复数，∴∴z＝－4＋3i，∴|z|＝＝5.]复数与复平面内点的关系【例1】(1)复数z＝－1＋2i所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)复数＝1＋i和z＝1－i在复平面内的对应点关于()A．实轴对称B．一、三象限的角平分线对称C．虚轴对称D．二、四象限的角平分线对称(3)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是()A．(－3,1)B．(－1,3)C．(1，＋∞)D．(－∞，－3)(1)B(2)A(3)A[(1)由复数的几何意义知z＝－1＋2i对应复平面中的点为(－1,2)，而(－1,2)是第二象限中的点，故选B．(2)复数＝1＋i在复平面内的对应点为Z1(1，)．复数z＝1－i在复平面内的对应点为Z2(1，－)．点Z1与Z2关于实轴对称，故选A．(3)z＝(m＋3)＋(m－1)i对应点的坐标为(m＋3，m－1)，该点在第四象限，所以解得－3＜m＜1.故选A．]解答复数与复平面内点的关系问题的一般思路(1)首先确定复数的实部与虚部，从而确定复数对应点的横、纵坐标．(2)根据已知条件，确定实部与虚部满足的关系．[跟进训练]1．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i对应点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．分别求实数m的取值范围．[解]复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)由题意得∴∴－1＜m＜1.(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.∴m＝2.综上所述，(1)当m＝2或m＝－1时，复数z对应的点在虚轴上；(2)当－1＜m＜1时，复数z对应的点在第二象限；(3)当m＝2时，复数z对应的点在直线y＝x上．复数的几何意义【例2】在复平面上，复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A，B，C，求...
