第二讲双曲线一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神，进一步提高学生“应用数学”的水平．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹叫作双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．特征式：．注：①若，则点的轨迹是以为端点的两条射线；②若，则这样的点不存在；③若，则点的轨迹仅是双曲线的一支．（2）第二定义：平面内动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，那么这个点的轨迹叫做双曲线．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数就是离心率．特征式：．注：若时，表示过与相交的两条直线（不含点）．（二）双曲线的方程（1）双曲线的标准式方程：①；（焦点在轴的平行线上，中心在的双曲线方程）②．（焦点在轴的平行线上，中心在的双曲线方程）（2）双曲线的参数方程：①；②．1ＰＦ１Ｆ２ＦＰ（3）双曲线的向量式方程：．（三）性质：对于双曲线而言，（1）范围及特征关系：；．（2）对称性：图象既关于轴对称，又关于轴对称，也关于原点对称．原点叫双曲线的对称中心，简称中心．轴、轴叫双曲线的对称轴．（3）顶点：双曲线和实轴的交点叫做双曲线的顶点．；加两焦点与共有六个特殊点．叫双曲线的实轴，叫双曲线的虚轴，长分别为．分别为双曲线的实半轴长和虚半轴长．（4）离心率：双曲线焦距与实轴长之比．注：双曲线形状与的关系：，双曲线的开阔程度越小；，双曲线的开阔程度越大．（5）双曲线的准线方程：对于，左准线；右准线；对于，下准线；上准线．（6）焦准距：焦点到准线的距离（焦参数）．（7）通径：经过焦点且垂直于实轴的弦称之为通径，长度为．（8）渐近线：双曲线的渐近线方程是（令即可）．（9）焦半径公式：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：（左焦半径）；（右焦半径）；焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：（下焦半径）；（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）（10）焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；．（如何证明？）（四）等轴双曲线2ＰＦ１Ｆ２（1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．（2）性质：①渐近线方程为：；②渐近线互相垂直；③离心率．（3）方程：，当时交点在轴，当时焦点在轴上．（五）共轭双曲线（1）定义：如果双曲线的实轴是双曲线的虚轴，双曲线的虚轴是双曲线的实轴，这两个双曲线称为互为共轭双曲线．（2）求法：；（3）性质：若共轭双曲线的离心率分别为，则：①；②；③；④．（六）双曲线系方程（焦点在轴的上，中心在原点）（1）共焦点的双曲线系：注：若，则表示共焦点的椭圆系．（2）共渐进线的双曲线系：．注：若，则表示离心率相同的椭圆系．三、精典例析（一）活用定义例1：定点是双曲线的焦点，Ｐ是双曲线Ｃ的右支上的动点．（1）求的最小值；（2）求的最小值．解析：（1）双曲线的离心率为，；（2），取等号时，．引申：也适用于椭圆、抛物线．3PDHAＦ1Ｆ2例2：（1）方程表示什么曲线？（2）方程表示什么曲线？解析：（1）设，则原方程等价于：，即：到定点的距离与它到定直线的距离之比为，故原方程表示以定点为焦点，以定直线为准线的双曲线．（2） ，∴原方程表示过定点，与定直线相交的直线与．例3：一炮弹在某处爆炸，在A处听到爆炸声的时间比在B处晚．（1）爆炸点应在什么样的曲线上？（2）已知A、B两地相距，并且此时声速为，求曲线的方程．分析：解应用题的关键是建立数学模型奎屯王新敞新疆根据本题设和结论，注意到在A处听到爆炸声的时间比B处晚2s,这里声速...
