第4讲指数式、对数式的运算一、知识梳理1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒(2)根式的性质①()n＝a(n∈N*，且n>1)．②＝2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．对数概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式性质对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)运算法则loga(M·N)＝logaM＋logaNa>0，且a≠1，M>0，N>0loga＝logaM－logaNlogaMn＝nlogaM(n∈R)换底公式logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)推论①logambn＝logab；②logab＝；③logab·logbc＝logac(a，b均大于0且不等于1，c>0)二、习题改编1．(必修1P74A组T3改编)计算(1)lg－lg25＝．1(2)2log510＋log50.25＝．答案：(1)－2(2)22．(必修1P54练习T3改编)化简(1)aaa－＝．(2)2x－＝．答案：(1)a(2)1－4x－1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)＝π－4.()(2)与()n都等于a(n∈N*)．()(3)log2x2＝2log2x.()(4)若MN>0，则loga(MN)＝logaM＋logaN.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×二、易错纠偏(1)忽视n的范围导致(a∈R)化简出错；(2)对数的运算性质不熟致误．1．化简(x<0，y<0)得()A．2x2yB．2xyC．4x2yD．－2x2y解析：选D.因为x<0，y<0，所以＝(16x8·y4)＝(16)·(x8)·(y4)＝2x2|y|＝－2x2y.2．计算：lg－lg8＋lg7＝．解析：原式＝lg4＋lg2－lg7－lg8＋lg7＋lg5＝2lg2＋(lg2＋lg5)－2lg2＝.答案：指数幂的化简与求值(师生共研)计算：(1)＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；(2)(a>0，b>0)．【解】(1)原式＝(－1)－×＋－＋1＝＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1＝－.(2)原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1.[提醒]运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形2式力求统一．1．计算：－＋＋(0.002)＝．解析：原式＝－＋＋＝－＋＋10＝10.答案：102．化简4a·b－÷的结果为．解析：原式＝4÷a－b－－＝－6ab－1＝－.答案：－3．已知x＋x＝3，则x2＋x－2＋3＝．解析：由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50.答案：50对数式的化简与求值(师生共研)计算下列各式：(1)2lg5＋lg2(lg2＋2lg5)＋(lg2)2；(2)log225·log32·log59；(3).【解】(1)2lg5＋lg2(lg2＋2lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2(lg2＋2lg5＋lg2)＝2lg5＋lg2(2lg2＋2lg5)＝2lg5＋2lg2＝2.(2)法一：log225·log32·log59＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6.法二：log225·log32·log59＝··＝··＝6.(3)＝＝＝＝＝＝.[提醒]对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误．1．计算2log63＋log64的结果是()A．log62B．2C．log63D．3解析：选B.2log63＋log64＝log69＋log64＝log636＝2.故选B.2．已知函数f(x)＝则f(2＋log23)的值为()A．24B．16C．12D．8解析：选A.因为3<2＋log23<4，所以f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝23＋log23＝8×2log23＝324.3．lg＋lg＋20＋(5)2×＝．解析：原式＝lg＋1＋5×5＝＋5＝.答案：4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝．解析：因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10，所以m＝.答案：[基础题组练]1．若实数a>0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4B．2a－3＝C．(－2)0＝－1D．(a－)4＝解析：选D.对于A，(－2)－2＝，故A错误；对于B，2a－3＝，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C错误；对于D，(a－)4＝.2．如果2loga(P－2Q)＝...
