第3讲平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，AB＝a，AC＝b，则AD＝()A．a－bB．a－bC．a＋bD．a＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，点P满足OP＝(OA＋OB＋2OC)，则为()A．B．C．2D．(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC中，点D满足BD＝BC，当点E在射线AD(不含点A)上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】(1)连接CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，得CD∥AB且CD＝AB＝a，所以AD＝AC＋CD＝b＋a.(2)如图，延长CO，交AB中点D，O是△ABC的重心，则OP＝(OA＋OB＋2OC)＝(2OD＋2OC)＝(－OC＋2OC)＝OC，所以OP＝OC＝×CD＝CD；所以DP＝DO＋OP＝CD＋CD＝CD，DO＝CD；所以＝＝＝.(3)因为点E在射线AD(不含点A)上，设AE＝kAD(k>0)，又BD＝BC，所以AE＝k(AB＋BD)＝k＝AB＋AC，所以，(λ＋1)2＋μ2＝＋k2＝＋>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】(1)D(2)A(3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M是△ABC边BC上的点，N为AM的中点，若AN＝λAB＋1μAC，则λ＋μ的值为()A.B.C.D.1解析：选C.因为M在BC边上，所以存在实数t∈[0，1]使得BM＝tBC.AM＝AB＋BM＝AB＋tBC＝AB＋t(AC－AB)＝(1－t)AB＋tAC，因为N为AM的中点，所以AN＝AM＝AB＋AC，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝＋＝，故C正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cosC＝.若动点P满足AP＝(1－λ)AB＋AC，(λ∈R)，则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为()A．5B．10C．2D．4解析：选A.设AD＝AC，因为AP＝(1－λ)AB＋AC＝(1－λ)AB＋λAD，所以B，D，P三点共线．所以P点轨迹为直线BC.在△ABC中，BC＝7，AC＝6，cosC＝，所以sinC＝，所以S△ABC＝×7×6×＝15，所以S△BCD＝S△ABC＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最大值＝2.答案：02平面向量的数量积[核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a·b＝|a||b|cosθ(其中θ为向量a，b的夹角)；(2)坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)时，a·b＝x1x2＋y1y2.2．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.[典型例题]2(1)(2018·高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是()A．－1B．＋1C．2D．2－(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝k，|c|＝2－k且a＋b＋c＝0，则b与c夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】(1)设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径...
