辽宁省东北育才学校高中部高二数学让数学课堂在学生的错误中生成精彩的教学案例（二）案例回放1．创设情境，提出问题教师：前面，我们学习了等差数列，大家知道等差数列是一类重要的特殊数列，它除了定义、通项公式、前n项和的公式以外，还有一些重要的性质，正确地、灵活地运用这些知识，可以使我们在求解等差数列的有关问题时得心应手。下面请大家看一个问题（投影显示）：问题：已知数列nnab和都是等差数列，nnST和分别是它们前n项之和，且nnS4n+3=T2n+5，求88ab。从不同的角度入手思考，可以得到这个问题的不同解法。请大家尝试，看谁解得快，解得好，想到的方法多。问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生的探究热情被激发起来，他们跃跃欲试，立即投入到解法的探索中。2．展示错解，暴露思维学生求解的同时，教师在教室巡视，发现学生1和学生2很快得出了结果，他们所用的解法不同，但都是错误的，且具有一定的典型性和代表性，这时我请他们到黑板上将解题过程展示出来，以便组织学生展开讨论，进行辨析，学生1：因为nnS4n+3=T2n+5，因此，可设nS=4n+3，nT=2n+5，于是88878878aa=S483(473)4,285(275)2,=2bSbTT故得学生2：因为nnS4n+3=T2n+5，因此，可设nS=k（4n+3），nT=k（2n+5），于是887887a=Sk8483k7(473)63k,k8285k7(275)35kSbTT（）（）。3．错解辨析，正本清源教师：学生1和学生2运用了两种不同的解法，所得的结果都是2，他们的解法对吗？学生3：学生1的结论对，但解法不对，因为由nnS4n+3=T2n+5，不能得到nS=4n+3，nT=2n+5，学生2的解法是对的。教师：学生3指出了学生1解法的错误所在，肯定了学生2的解法，大家有不同意见吗？学生4：学生2的解法也不对，设nS=k（4n+3），nT=k（2n+5），表明了数列nnab和的前n项和都是n的一次式。而等差数列如果不是常数列，它的前n项和nS是一个形如2an+bn的二次式，因此应该设nS=kn（4n+3），nT=kn（2n+5），从而得到。887887a=Sk8483k7(473)63k,k8285k7(275)35kSbTT（）（）。用心爱心专心1故得88a9=b5。教师：学生4指出了学生1和学生2解法的错误所在，88a9=b5并给出了正确的解法与答案，非常好。由n1nn-1S=na+d2（）知，只有当等差数列是常数列时，才能将其前n项和设为nS=an+b的形式，而本题并没有这样的条件，学生1和学生2犯了偷换题设的错误，其原因在于对等差数列的前n项和公式的特征认识不到位。4．合作交流，深入探究教师：学生4抓住了等差数列前n项和公式的本质特征，给出的解法非常好，请大家进一步思考，这个问题能不能用其他方法来求解呢？可以相互讨论。（经过一番探究和讨论，不少学生有了新的发现）学生5：可以设等差数列nnab和的公差分别为d和d'，由已知恒等式，令n=1，得n1nn1nSa+a=Tb+b令n=2，得121121a+a2a+d42+311===b+b2b+d22+59；令n=3，得12311231a+a+a3a+d43+315===b+b+b3b+d23+511。由①②③解得1117a=bd=2db=d4，，，∴811763a=a+7d=b+14d=d+14d=d44，81735b=b+7d=d+7d=d44。故可得88a9=b5。教师：很好。学生5抓住等差数列的基本量，运用从特殊入手的思想方法，找出两个等差数列的首项和公差的关系，通过减少未知量的个数，求出了88ab之比，很有创意。学生6：（迫不及待的）我有更简便的解法。能够得解由n2n-1n2n-1aS=bT，能够得88a9=b5。用心爱心专心2教师：啊，很妙！利用等差数列的性质，将等差数列的通项a与前n项和nS联系起来，在已知与未知之间架起了桥梁。这种解法，我倒没有想到，真是青出于蓝啊！（谦虚一下，给予学生足够的肯定）学生6给我们解决这一类问题提供了一个很好的解法。一般地，如果已知两个等差数列nnab和的前n项和的比值nnSpn+b=Tqn+c，求kkab，都可以按照学生6的方法来解。这种方法操作方便，过程简捷。5.再掀波涛，更进一步讨论到这里，学生都想松一口气了，但我意犹未尽，又提出了新的问题。教师：同学们，两个等差数列nnab和的前n项和nnST与之比一定能表示成关于n的一...
