教学案例两角和与差的三角函数南京市秦淮中学许明一、教学目标1．经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系。2．用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用。3．能用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。教学重点：两角和与差的三角函数公式的推导；用余弦的和差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明。教学难点：两角和与差的三角函数公式的推导．二、教学过程（一）问题情境（1）对于函数y=sinx+cosx,它仍然表示简谐运动吗？（2）设向量a=(cos75°，sin75°),b(cos15°,sin75°),试分别计算a·b=|a|·|b|cos及a·b=x1x2+y1y2.比较两次计算结果,你能发现什么?（3）cos(-)能否用的三角函数与的三角函数来表示？教师引导学生分析后，有目的地寻找推导思路．（二）数学探究在直角坐标系xoy中，以ox轴为始边分别作角，，其始边分别与单位圆交与p1(cos,sin),p2(cos,sin),则∠p1op2=-.由于余弦函数是周期为2的偶函数，所以，我们只需考虑0≤-﹤的情况。设向量则（三）数学理论1．两角差的余弦公式：cos(-)=coscos+sinsin。将上述公式中的用—替代，得2．两角和的余弦公式：cos(+)=coscos-sinsin。反思：（1）能否直接利用向量的数量积推出两角和的余弦公式？（课后尝试完成）（2）“用-替代”具有怎样的几何意义？（形数结合，加深理解）（三）数学应用例1．利用两角和（差）的余弦公式证明下列诱导公式：（1）cos(-)=sin；（2）sin(-)=cos。例2．利用两角和（差）的余弦公式，求cos75°,cos15°,sin15°,tan15°.例3．已知sin=2/3,(/2,),cos=-3/5,(,3/2),求cos(+).练习：1。利用两角和（差）的余弦公式证明：1oxyo（1）cos(-)=-sin（2）sin(-)=--cos2．利用两角和（差）的余弦公式化简：（1）cos58°cos37°+sin58sin37°；(2)cos(60°+)-cos(60°-)；(3)cos(60°+)+cos(60°-)；3．已知cos=-，，求cos(-)。总结一般规律：训练公式顺向、逆向运用．（四）拓展与延伸思考：若cos(+)=4/5，cos(-)=-3/5，-，+）。求cos2。（有意识培养学生见角找联系，不是见角拆角，盲目运用公式）（五）归纳小结（六）作业：课本相关作业．点评．两角差的余弦公式是用向量的数量积推导的，体现向量和三角函数间的联系，也说明向量作为数学工具应用的广泛性和知识间内在联系和应用，本课例突出数学语言、符号语言、图形语言三者之间的转化，以提高对数形结合思想的认识。2
