第三节平面向量的数量积与平面向量应用举例1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤[小题体验]1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，则a与b的夹角θ为()A.B.C.D.答案：D2．已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|＝2，|b|＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝()A．1B．2C．3D．4解析：选C由题意可得a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝2××＝3.3．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60°，则|a＋3b|＝()A.B.C.D．4解析：选C依题意得a·b＝，则|a＋3b|＝＝.4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，则t＝________.解析：因为向量a，b为单位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夹角为60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2.答案：25．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析：选向量的基底为AB，AD，则BD＝AD－AB，AE＝AD＋AB，所以AE·BD＝·(AD－AB)＝2.答案：21．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．两个向量的夹角为锐角，则有a·b＞0，反之不成立；两个向量夹角为钝角，则有a·b＜0，反之不成立．3．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.4．在用|a|＝求向量的模时，一定要把求出的a2再进行开方．[小题纠偏]1．若a，b是两个互相垂直的非零向量，给出以下式子：①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③|a＋b|＝|a－b|；④a2＋b2＝(a＋b)2.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4解析：选C因为a，b是两个互相垂直的非零向量，所以a·b＝0；所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2；(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2；所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.故①③④是正确的，②是错误的．2．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，则|a＋2b|＝________.解析：|a＋2b|＝＝＝＝.答案：[题组练透]1．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12)B．0C．－3D．－11解析：选C a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3.2．(2018·浙江考前冲刺)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|＝4，则向量a在a＋b上的投影为()A.B．3C.D．6解析：选B由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，由|a＋b|＝2|b|，得a2＋2a·b＋b2＝4b2，即a2＝3b2，所以|a|＝|b|＝2，所以向量a在a＋b上的投影为＝＝3.3．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D为BC的中点，则AB·AD＝________.解析：法一：由题意知，AC＝BC＝2，AB＝2，∴AB·AD＝AB·(AC＋CD)＝AB·AC＋AB·CD＝|AB|·|AC|cos45°＋|AB|·|CD|cos45°＝2×2×＋2×1×＝6.法二：建立如图所示的平面直角坐标系，由题意得A(0,2)，B(－2,0)，D(－1,0)，∴AB＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)，AD＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)，∴AB·AD＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6.答案：64．(2019·台州模拟)以O为起点作三个不共线的非零向量OA，OB，OC，使AB＝－2BC，|OA|＝4，＋＝，则OA·BC＝________.解析：法一：由＋＝，平方得·＝－，即cos∠AOB＝－，因为OA，OB不共线，所以0°＜∠AOB＜180°，所以∠AOB＝120°.因为AB＝－2BC，所以C为线段AB的中点．由＋＝...
