高考数学 第七节 指数函数教材VIP专享VIP免费

第七节指数函数教材面面观1．指数(1)根式①根式的定义：如果________，那么x叫做a的n次方根，其中n为大于1的整数.叫做根式，这里n叫做________，a叫做________；②根式的性质：(ⅰ)当n为奇数时，有＝a；当n为偶数时，有＝______＝________.(ⅱ)________没有偶次方根；(ⅲ)零的任何次方根都是________．(2)指数幂的有关概念①正整数指数幂：________＝a·a·…·a(n∈N*)；②零指数幂：a0＝________；③负整数指数幂：a－p＝________；④正分数指数幂：a＝________________；⑤负分数指数幂：a－＝________；⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂________．(3)有理指数幂的性质①aras＝________(a＞0，r、s∈Q)；②(ar)s＝________(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝________(a＞0，b＞0，r∈Q)．答案xn＝a根指数被开方数|a|负数0an1(a≠0)(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)没有意义ar＋sarsarbr2．指数函数的图象与性质定义________叫做指数函数定义域________值域________图象性质(1)________．(2)图象经过________点．(3)a＞1，当____时，y＞1；当____时，0＜y＜1.0＜a＜1，当____时，0＜y＜1；当____时，y＞1.(4)a＞1，y＝ax为增函数，0＜a＜1，y＝ax为________．(5)________．(填奇偶性)答案y＝ax(a＞0，a≠1的常数)(－∞，＋∞)(0，＋∞)y＞0(0,1)x＞0x＜0x＞0x＜0减函数非奇非偶函数用心爱心专心13．指数方程在指数里含有未知数的方程叫做指数方程．指数方程的可解类型，可分为(1)形如af(x)＝ag(x)(a＞0，a≠1)的方程，化为________求解．(2)形如af(x)＝bg(x)(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)的方程，通过两边________求解．(3)形如a2x＋b·ax＋c＝0的方程，用________求解．答案f(x)＝g(x)取对数换元法考点串串讲1．指数(1)根式式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．根式的性质：①n为任意正整数，()n＝a；②当n为奇数时，＝a；当n为偶数时＝|a|.(2)分数指数幂正分数指数幂的意义是：a＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．负分数指数幂的意义是：a－＝(a＞0，m、n∈N*，且n＞1)．(3)指数的运算①am·an＝am＋n(a＞0)；②(am)n＝amn(a＞0)；③(ab)m＝ambm(a＞0，b＞0)；④am÷an＝am－n(a＞0)；⑤()n＝(a＞0，b＞0)．2．指数函数的定义、图象与性质(1)定义一般地，函数y＝ax(a＞0且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.注意在指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)中，幂指数x是自变量，幂底数为常数，且这个常数大于0，不等于1.如y＝2x，y＝()x，y＝()x都是指数函数，而像y＝(－)x，y＝1x，y＝2x＋1，y＝x4，y＝－4x，这些都不是指数函数．因为对于y＝(－)x，比如当x取(n∈N＋)这些值时，这个式子就没有意义了．而对于y＝1x，无论x为何值，y＝1x＝1，这个函数没有研究的必要，再说这个函数是多值对应的，如果让它加盟到指数函数中来将破坏指数函数的统一单调性，因此干脆将a＝1这种情况排除，所以限定a＞0且a≠1.对于y＝2x＋1，虽然幂的底数是一个大于0且不等于1的常数，但指数是x＋1，不是x.而y＝x4是幂函数而不是指数函数，y＝－4x是－1与指数函数4x的乘积，所以它不是指数函数．(2)图象与性质一般地，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在底数a＞1及0＜a＜1两种情况下的图象与性质如下表所示：a＞10＜a＜1用心爱心专心2图象性质(1)定义域：R(2)值域：R＋(3)过点(0,1)(4)在R上是增函数(4)在R上是减函数说明：从图象上还可以看出：①若a＞1，则当x→＋∞时，y→＋∞；当x→－∞时，y→0；当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1；当x＝0时，y＝1.②若0＜a＜1，则当x＋∞时，y0；当x→－∞时，y→＋∞；当x＞0时，0＜y＜1；当x＜0时，y＞1；当x＝0时，y＝1.③指数函数的图象都在x轴的上方，而且当a＞1时，随着底数a值的增大，函数y＝ax的图象从左到右越来越陡峭；当0＜a＜1时，随着底数a值的增大，函数y＝ax的图象从左到右，越来越平坦．如图所示．典例对对碰题型一运用指数运算性质计算、化简例1化简：解析(1) x－1＝(x13－1)(x23＋x13＋1)，用心爱心专心3x＋1＝(x13＋1)(x23－x13＋1)，x－x13＝x13(x13－1)(x13＋1)，∴原式＝x13－1＋x23－x13＋1－x13(x13＋1)＝－...