课时作业39直接证明与间接证明一、选择题1.(2014·广东佛山质量检测)用反证法证明命题:若整数系数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理实数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.下列假设中正确的是()A.假设a,b,c至多有一个是偶数B.假设a,b,c至多有两个偶数C.假设a,b,c都是偶数D.假设a,b,c都不是偶数解析:“至少有一个”的否定为“一个都没有”,即假设a,b,c都不是偶数.答案:D2.(2015·安阳月考)用反证法证明命题:“已知a,b∈N,若ab可被5整除,则a,b中至少有一个能被5整除”时,反设正确的是()A.a,b都不能被5整除B.a,b都能被5整除C.a,b中有一个不能被5整除D.a,b中有一个能被5整除解析:由反证法的定义得,反设即否定结论.答案:A3.(2014·上海模拟)“a=”是“对任意正数x,均有x+≥1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当a=时,x+≥2=1,当且仅当x=,即x=时取等号;反之,显然不成立.答案:A4.(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0解析:由题意知<a⇐b2-ac<3a2⇐(a+c)2-ac<3a2⇐a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇐-2a2+ac+c2<0⇐2a2-ac-c2>0⇐(a-c)(2a+c)>0⇐(a-c)(a-b)>0.答案:C5.(2014·天津模拟)p=+,q=·(m,n,a,b,c,d均为正数),则p,q的大小为()A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不确定解析:q=≥=+=p.答案:B6.(2014·漳州一模)设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析: a>0,b>0,c>0,∴++=++≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”成立,故三者不能都小于2,即至少有1一个不小于2.答案:D二、填空题7.(2015·湛江二中月考)已知a,b,m均为正数,且a>b,则与的大小关系是__________.解析:-==, a,b,m>0,且a>b,∴b-a<0,∴<.答案:<8.(2015·大连三中月考)下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使+≥2成立的条件的个数是__________.解析:要使+≥2,只需>0且>0成立,即a,b不为0且同号即可,故①③④能使+≥2成立.答案:39.(2014·株洲模拟)已知a,b,μ∈(0,+∞),且+=1,则使得a+b≥μ恒成立的μ的取值范围是__________.解析: a,b∈(0,+∞),且+=1,∴a+b=(a+b)=10+≥10+2=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立),∴a+b的最小值为16.∴要使a+b≥μ恒成立,需16≥μ,∴0<μ≤16.答案:(0,16]三、解答题10.(2014·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么?解析:(1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,即a(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0矛盾,所以数列{Sn}不是等比数列.(2)当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q≠0矛盾.综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列.11.(2014·陕西宝鸡三模)假设数列{an}的各项均不相等,将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{an}的排序数列,例如a2<a3<a1,满足的排序数列为2,3,1.(1)写出2,4,3,1的排序数列;(2)求证:数列{an}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{an}为单调数列.解析:(1)排序数列为4,1,3,2.(2)证明:充分性:当数列{an}单调递增时, a1<a2<…<an,∴排序数列为1,2,3,…,n,∴排序数列为等差数列.当数列{an}单调递减时, an<an-1<…<a1,∴排序数列为n,n-1,n-2,…,1,∴排序数列为等差数列.2综上,数列{an}为单调数列时,排序数列为等差数列.必要性: 排序数列为等差数列,∴排序数列为1,2,3,…,n或n,n-1,n-2,…,1,∴a1<a2<…<an或an<an-1<…<a1.∴数列{an}...