课时作业39直接证明与间接证明一、选择题1．(2014·广东佛山质量检测)用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理实数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．下列假设中正确的是()A．假设a，b，c至多有一个是偶数B．假设a，b，c至多有两个偶数C．假设a，b，c都是偶数D．假设a，b，c都不是偶数解析：“至少有一个”的否定为“一个都没有”，即假设a，b，c都不是偶数．答案：D2．(2015·安阳月考)用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()A．a，b都不能被5整除B．a，b都能被5整除C．a，b中有一个不能被5整除D．a，b中有一个能被5整除解析：由反证法的定义得，反设即否定结论．答案：A3．(2014·上海模拟)“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，显然不成立．答案：A4．(2014·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是()A．a－b＞0B．a－c＞0C．(a－b)(a－c)＞0D．(a－b)(a－c)＜0解析：由题意知＜a⇐b2－ac＜3a2⇐(a＋c)2－ac＜3a2⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0⇐－2a2＋ac＋c2＜0⇐2a2－ac－c2＞0⇐(a－c)(2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.答案：C5．(2014·天津模拟)p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()A．p≥qB．p≤qC．p＞qD．不确定解析：q＝≥＝＋＝p.答案：B6．(2014·漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋()A．都大于2B．都小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解析： a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有1一个不小于2.答案：D二、填空题7．(2015·湛江二中月考)已知a，b，m均为正数，且a＞b，则与的大小关系是__________．解析：－＝＝， a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜.答案：＜8．(2015·大连三中月考)下列条件：①ab＞0，②ab＜0，③a＞0，b＞0，④a＜0，b＜0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是__________．解析：要使＋≥2，只需＞0且＞0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．答案：39．(2014·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是__________．解析： a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥10＋2＝16(当且仅当a＝4，b＝12时等号成立)，∴a＋b的最小值为16.∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0＜μ≤16.答案：(0,16]三、解答题10．(2014·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？解析：(1)证明：假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列．(2)当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾．综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列．11．(2014·陕西宝鸡三模)假设数列{an}的各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列成为数列{an}的排序数列，例如a2＜a3＜a1，满足的排序数列为2,3,1.(1)写出2,4,3,1的排序数列；(2)求证：数列{an}的排序数列为等差数列的充要条件是数列{an}为单调数列．解析：(1)排序数列为4,1,3,2.(2)证明：充分性：当数列{an}单调递增时， a1＜a2＜…＜an，∴排序数列为1,2,3，…，n，∴排序数列为等差数列．当数列{an}单调递减时， an＜an－1＜…＜a1，∴排序数列为n，n－1，n－2，…，1，∴排序数列为等差数列．2综上，数列{an}为单调数列时，排序数列为等差数列．必要性： 排序数列为等差数列，∴排序数列为1,2,3，…，n或n，n－1，n－2，…，1，∴a1＜a2＜…＜an或an＜an－1＜…＜a1.∴数列{an}...
