高考大题专项练五高考中的解析几何1.设A,B为曲线C:y=x24上两点,A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率;(2)设M为曲线C上一点,C在M处的切线与直线AB平行,且AM⊥BM,求直线AB的方程.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2,y1=x124,y2=x224,x1+x2=4,于是直线AB的斜率k=y1-y2x1-x2=x1+x24=1.(2)由y=x24,得y'=x2.设M(x3,y3),由题设知x32=1,解得x3=2,于是M(2,1).设直线AB的方程为y=x+m,故线段AB的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m代入y=x24得x2-4x-4m=0.当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x1,2=2±2❑√m+1.从而|AB|=❑√2|x1-x2|=4❑√2(m+1).由题设知|AB|=2|MN|,即4❑√2(m+1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB的方程为y=x+7.2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|⃗MA+⃗MB|=⃗OM·(⃗OA+⃗OB)+2.(1)求曲线C的方程;(2)点Q(x0,y0)(-20,x2>0.由{y=k(x-2),y2=2x得ky2-2y-4k=0,可知y1+y2=2k,y1y2=-4.直线BM,BN的斜率之和为kBM+kBN=y1x1+2+y2x2+2=x2y1+x1y2+2(y1+y2)(x1+2)(x2+2).①将x1=y1k+2,x2=y2k+2及y1+y2,y1y2的表达式代入①式分子,可得x2y1+x1y2+2(y1+y2)=2y1y2+4k(y1+y2)k=-8+8k=0.所以kBM+kBN=0,可知BM,BN的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.4.已知中心在原点O,左焦点为F1(-1,0)的椭圆C的左顶点为A,上顶点为B,F1到直线AB的距离为❑√77|OB|.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C1的方程为x2m2+y2n2=1(m>n>0),椭圆C2的方程为x2m2+y2n2=λ(λ>0,且λ≠1),则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆.如图,已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆,若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于两点M,N,试求弦长|MN|的取值范围.解(1)设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),∴直线AB的方程为x-a+yb=1.∴F1(-1,0)到直线AB的距离d=|b-ab|❑√a2+b2=❑√77b,a2+b2=7(a-1)2.又b2=a2-1,解得a=2,b=❑√3,故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为x212+y29=1,①若切线l垂直于x轴,则其方程为x=±2,易求得|MN|=2❑√6.②若切线l不垂直于x轴,可设其方程为y=kx+b,将y=kx+b代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-12=0,∴Δ=(8kb)2-4(3+4k2)(4b2-12)=48(4k2+3-b2)=0,即b2=4k2+3,(*)设M,N两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),将y=kx+b代入椭圆C2的方程,得(3+4k2)x2+8kbx+4b2-36=0,此时x1+x2=-8kb3+4k2,x1x2=4b2-363+4k2,|x1-x2|=4❑√3(12k2+9-b2)3+4k2,∴|MN|=❑√1+k2·4❑√3(12k2+9-b2)3+4k2=4❑√6❑√1+k23+4k2=2❑√6❑√1+13+4k2. 3+4k2≥3,∴1<1+13+4k2≤43,即2❑√6<2❑√6❑√1+13+4k2≤4❑√2.综合①②,得弦长|MN|的取值范围为[2❑√6,4❑√2].5.(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:x24+y23=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-12;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且⃗FP+⃗FA+⃗FB=0.证明:2|⃗FP|=|⃗FA|+|⃗FB|.证明(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x124+y123=1,x224+y223=1.两式相减,并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23·k=0.由题设知x1+x22=1,y1+y22=m,于是k=-34m.由题设得0
