第6节正弦定理和余弦定理及其应用1．(2019·莆田市一模)在△ABC中，BC＝2，AB＝4，cosC＝－，则AC的值为()A．2B．3C．4D．5解析：B[△ABC中，a＝BC＝2，c＝AB＝4，cosC＝－，∴c2＝a2＋b2－2abcosC，即16＝4＋b2－4b×，化简得b2＋b－12＝0，解得b＝3或b＝－4(不合题意，舍去)，∴b＝AC＝3.故选B.]2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定解析：B[∵＝，∴sinB＝sinA＝sin45°，∴sinB＝.又∵a＜b，∴B有两个．]3．(2016·全国Ⅲ卷)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则sinA＝()A.B.C.D.解析：D[∵在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，∴AB＝BC.由余弦定理得AC＝＝＝BC，所以BC·BC＝AB·AC·sinA＝·BC·BC·sinA，∴sinA＝，故选D.]4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝2ccosA，c＝2bcosA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：C[由正弦定理，得sinB＝2sinCcosA，sinC＝2sinBcosA，即sin(A＋C)＝2sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinAcosC－cosAsinC＝0，所以sin(A－C)＝0，A＝C，同理可得A＝B，所以三角形为等边三角形．故选C.]5．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA＝，a＝3，S△ABC＝2，则b的值为()A．6B．3C．2D．2或3解析：D[因为S△ABC＝2＝bcsinA，所以bc＝6，又因为sinA＝，所以cosA＝，又a＝3，由余弦定理得9＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－4，b2＋c2＝13，可得b＝2或b＝3.]6．有一解三角形的题目因纸张破损有一个条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a＝，2cos2＝(－1)cosB，c＝________，求角A.(答案提示：A＝60°，请将条件补充完整)解析：由题知1＋cos(A＋C)＝(－1)cosB，所以1－cosB＝(－1)cosB，解得cosB＝，所以B＝45°.又A＝60°，所以C＝75°.根据正弦定理，得＝，解得c＝.故应填.答案：7．(2019·合肥市一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A＝45°，2bsinB－csinC＝2asinA，且△ABC的面积等于3，则b＝________.解析：∵A＝45°，2bsinB－csinC＝2asinA，∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc，①由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，②又S△ABC＝bcsinA＝3，即bc＝6，③由①②③联立解得b＝3.答案：38．(2018·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．解析：根据题意，结合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝，结合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A为锐角，且cosA＝，从而求得bc＝，所以△ABC的面积为S＝bcsinA＝··＝.答案：9．(2019·渭南市一模)已知f(x)＝sin－cosx.(1)写出f(x)的最小正周期，并求f(x)的最小值；(2)已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C的对边，b＝5，cosA＝且f(B)＝1，求边a的长．解：f(x)＝sin－cosx＝sinxcos＋cosxsin－cosx＝sinx＋cosx＝sin；(1)f(x)的最小正周期T＝＝2π，当x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1；(2)△ABC中，b＝5，cosA＝，∴sinA＝＝；又f(B)＝1，∴sin＝1，∴B＋＝，解得B＝，∴＝，＝，解得a＝8.10．(2019·浙江省名校协作体高三联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c＝2，C＝.(1)当2sin2A＋sin(2B＋C)＝sinC时，求△ABC的面积；(2)求△ABC周长的最大值．解：(1)由2sin2A＋sin(2B＋C)＝sinC得4sinAcosA－sin(B－A)＝sin(A＋B)，得2sinAcosA＝sinBcosA，当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，当cosA≠0时，sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立，解得a＝，b＝.故△ABC的面积为S△ABC＝absinC＝.(2)由余弦定理及已知条件可得：a2＋b2－ab＝4，由(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3×得a＋b≤4，故△ABC周长的最大值为6，当且仅当三角形为正三角形时取到．
