南昌市正大学校高三数学（理科）周练（12）审题：高三历届数学备课组2007年11月20日一、选择题(每小题5分，共60分)1.与直线的方向向量共线的一个单位向量是(D)A.B.C.D.2.已知向量=1,=2,=1，则向量与的夹角大小为(B)A.B.C.D.3.已知则（C）A.B.C.D.4.如果向量a满足|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，那么a的夹角大小为(B)A.30ºB.45ºC.75ºD.135º5.如图是半径为3米的水轮,水轮圆心O距离水面2米.已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上一点P到水面的距离Y（米）与时间X（秒）满足函数关系式,则有（A）A．B．C．D．6.已知非零向量与满足（）·=0，且=，则为(D)A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形7.过ABC的重心任作一直线分别交AB、AC于点D、E，若,xy,则的值为(B)A.4B.3C.2D.18.已知不共线,，则中(A)A.至少有两个是钝角B.至少有一个是锐角C.至多有一个是钝角D.三个都是钝角9.△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则acosC+ccosA的值为(A)A.b.B..C.2cosB.D.2sinB.10.若则△ABC是（C）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．顶角为120的等腰三角形11.已知O是△ABC内一点，且满足\s\up5(→)·\s\up5(→)＝\s\up5(→)·\s\up5(→)＝\s\up5(→)·\s\up5(→)，则O点一定是△ABC的（C）A．内心B．外心C．垂心D．重心12.已知向量,,.若(其中)的最小值是,则的值为(D)A.1B.C.D.二、填空题(每小题4分，共16分)13.求cot10°－4cos10°的值.14.已知坐标原点O在直线AB上的射影为点C,则.15.在△ABC中，若，则cosA等于.16.已知A,B是△ABC的两个内角,满足cosA=cos(2B–A),则tan(B–A)tanB的值是.三、解答题：17.(本小题满分12分)已知点．（Ⅰ）求与的夹角；（Ⅱ）若且求．解：（Ⅰ）依题意，∴∴…3分设与的夹角为θ，则∵，∴θ＝（Ⅱ）由得∴，又∴0＜α－β＜π，∴1OPy又∴∴18.(本题满分12分)已知锐角△ABC中，三个内角为A、B、C，两向量，是共线向量.（I）求∠A的大小；（II）求函数y=2sin2B+cos()取最大值时，∠B的大小.解：(1)=(2－2sinA,cosA+sinA)，=(sinA－cosA,1+sinA)，∵//∴（2－2sinA）(1+sinA)－(cosA+sinA)(sinA－cosA)=0;∵△ABC为锐角形，sinA=∴A=60°（2）y=2sin2B+cos()=2sin2B+cos()=2sin2B+cos(2B－60°)=1－cos2B+cos(2B－60°)=1+sin(2B－30°)当B=60°时取最大值2.19.(本题满分12分)已知圆O的半径为R，它的内接△ABC中，成立，求三角形ABC面积S的最大值．解：由已知得，即．，．，面积S有最大值．20．(本题满分12分)设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=时，有最大值f（）=4.（1）求a、b、ω的值；（2）若角α、β的终边不共线，f（α）=f（β）=0，求tan（α+β）的值.解：（1）由=π，ω＞0得ω=2.∴f（x）=asin2x+bcos2x.由x=时，f（x）的最大值为4，得（2）由（1）得f（x）=4sin（2x+）.依题意有4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.∴sin（2α+）－sin（2β+）=0.∵2α+=α+β++(α-β),2β+=α+β+-(α-β)∴cos（α+β+）sin（α－β）=0∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z），故sin（α－β）≠0.∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.21.(本题满分12分)已知△OPQ的面积为S，且；（1）若，求向量的夹角的取值范围；（2）设以O为中心，P为焦点的椭圆经过点Q，当上变动时，求的最小值，并求出此时的椭圆方程.解：（1）∵夹角为，∴与夹解为，∴又∴∴∴-----------------------------4分（2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，----------------5分∴2∴∴，-----------6分由∴∴∴-------------8分令上是增函数，∴上为增函数，∴当m=2时，----------9分此时P（2，0），椭圆另一焦点为P′（－2，0），则椭圆长轴长，故椭圆方程为-------------------------12分22．（本小题满分14分）设函数.（Ⅰ）证明,其中k为整数；（Ⅱ）设为的一个极值点，证明；（Ⅲ）设在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列,证明.解：（Ⅰ）证明：由函数的定义，对任意整数，有．（Ⅱ）证明：函数在定义域上可导，①令，得．显然，对于满足上述方程的有，上述方程化简为．此方程一定有解．的极值点一定满足．由，得．因此，．（Ⅲ）证明：设是的任意正实数根，即，则存在一个非负整数，使，即在第二或第四象限内．由①式，在第二或第四象限中的符号可列表如下：的符号为奇数－0＋为偶数＋0－所以满足的正根都为的极值点．由题设条件，，，…，，…为方程的全部正实数根且满足，那么对于，．②由于，，则，由于，由②式知．由此可知必在第二象限，即．综上，．3
