课时作业20简单的三角恒等变换一、选择题1.(2015·温州月考)已知sin2α=,则cos2=()A.B.-C.D.-解析:cos2====,故选C.答案:C2.函数f(x)=sin2x+sinxcosx在区间上的最大值是()A.1B.C.D.1+解析:f(x)=+sin2x=sin+.又x∈,∴2x-∈,∴f(x)max=1+=.故选C.答案:C3.(2014·山东日照一模)函数y=sin·cos-coscos的图象的一条对称轴方程是()A.x=B.x=C.x=-D.x=-解析:对函数进行化简可得y=sin·cos-coscos=sincos+cossin=sin=sin,则由4x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z.当k=0时,x=.故选A.答案:A4.(2015·台州月考)如图,已知四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,BP⊥AC,BP=PC,CD>AB,则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是()A.AB与ADB.AB与BCC.BD与BCD.AD与AP解析:设AB=a,∠CAB=θ,则AP=acosθ,PC=BP=asinθ,AC=a(cosθ+sinθ),AD=ACsinθ=a(cosθ+sinθ)sinθ,CD=ACcosθ=a(cosθ+sinθ)cosθ,因为CD>AB,故cos2θ+sinθcosθ>1,即sin>,即<2θ+<,故0<θ<.A选项:假设AB=AD,则有sin2θ+sinθcosθ=1,即sin=,无解.B选项:假设AB=BC,则有sinθ=1,则sinθ=,无解.C选项:假设BD=BC,则有sinθ=,即1+2sin3θcosθ=sin2θ,无解.D选项:假设AD=AP,则有sin2θ+sinθcosθ=cosθ,令f(θ)=sin2θ+sinθcosθ1-cosθ=+-cosθ,则f(0)=-1<0,f=1->0,故必存在θ0使得:f(θ0)=0,故AD与AP可能重合.D选项正确.答案:D5.设a=(sin56°-cos56°),b=cos50°cos128°+cos40°cos38°,c=,d=(cos80°-2cos250°+1),则a,b,c,d的大小关系为()A.a>b>d>cB.b>a>d>cC.d>a>b>cD.c>a>d>b解析:a=sin(56°-45°)=sin11°.b=-sin40°cos52°+cos40°sin52°=sin(52°-40°)=sin12°.c==cos81°=sin9°.d=(2cos240°-2sin240°)=cos80°=sin10°.∴b>a>d>c.答案:B6.设M(x∈R)为坐标平面内一点,O为坐标原点,记f(x)=|OM|,当x变化时,函数f(x)的最小正周期是()A.30πB.15πC.30D.15解析:f(x)=|OM|======2.所以其最小正周期T==15.答案:D二、填空题7.已知sinαcosβ=,则cosαsinβ的取值范围是__________.解析:方法一:设x=cosα·sinβ,则sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ=+x,sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ=-x. -1≤sin(α+β)≤1,-1≤sin(α-β)≤1,∴∴∴-≤x≤.方法二:设x=cosα·sinβ,sinα·cosβ·cosα·sinβ=x.即sin2α·sin2β=2x.由|sin2α·sin2β|≤1,得|2x|≤1,∴-≤x≤.答案:8.函数y=sin·cos的最大值为__________.解析:y=sincos=cosxcos=cosx=cos2x+sinxcosx=×+sin2x=cos+,故函数的最大值是.2答案:9.(2015·吉安月考)已知直线l1∥l2,A是l1,l2之间的一定点,并且A点到l1,l2的距离分别为h1,h2,B是直线l2上一动点,作AC⊥AB,且使AC与直线l1交于点C,则△ABC面积的最小值为__________.解析:如图,设∠ABD=α,则∠CAE=α,AB=,AC=.所以S△ABC=·AB·AC=.当2α=,即α=时,S△ABC的最小值为h1h2.答案:h1h2三、解答题10.(2015·揭阳月考)已知函数f(x)=+2sinx.(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期;(2)若f(α)=2,α∈[0,π],求f的值.解析:(1)sinx≠0,解得x≠kπ(k∈Z),所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}, f(x)=+2sinx=2cosx+2sinx=2=2sin,∴f(x)的最小正周期为T==2π.(2)方法一:由f(α)=2⇒cosα+sinα=1⇒2cosαsinα=0. α∈[0,π]且sinα≠0,∴α=.∴f=2sin=2sin=.方法二:由f(α)=2,α∈[0,π],得sinα+cosα=1⇒cosα=1-sinα,代入sin2α+cos2α=1,得sin2α+(1-sinα)2=1⇒2sinα(sinα-1)=0. sinα≠0,∴sinα=1,又 α∈[0,π],∴α=,∴f=2sin=2sin=.11.已知函数f(x)=sin-2sin2x+1(x∈R),(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)在△ABC中,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知函数f(x)的图象经过点,b,a,c成...