课时作业20简单的三角恒等变换一、选择题1．(2015·温州月考)已知sin2α＝，则cos2＝()A.B．－C.D．－解析：cos2＝＝＝＝，故选C.答案：C2．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是()A．1B.C.D．1＋解析：f(x)＝＋sin2x＝sin＋.又x∈，∴2x－∈，∴f(x)max＝1＋＝.故选C.答案：C3．(2014·山东日照一模)函数y＝sin·cos－coscos的图象的一条对称轴方程是()A．x＝B．x＝C．x＝－D．x＝－解析：对函数进行化简可得y＝sin·cos－coscos＝sincos＋cossin＝sin＝sin，则由4x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z.当k＝0时，x＝.故选A.答案：A4．(2015·台州月考)如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP＝PC，CD＞AB，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是()A．AB与ADB．AB与BCC．BD与BCD．AD与AP解析：设AB＝a，∠CAB＝θ，则AP＝acosθ，PC＝BP＝asinθ，AC＝a(cosθ＋sinθ)，AD＝ACsinθ＝a(cosθ＋sinθ)sinθ，CD＝ACcosθ＝a(cosθ＋sinθ)cosθ，因为CD＞AB，故cos2θ＋sinθcosθ＞1，即sin＞，即＜2θ＋＜，故0＜θ＜.A选项：假设AB＝AD，则有sin2θ＋sinθcosθ＝1，即sin＝，无解．B选项：假设AB＝BC，则有sinθ＝1，则sinθ＝，无解．C选项：假设BD＝BC，则有sinθ＝，即1＋2sin3θcosθ＝sin2θ，无解．D选项：假设AD＝AP，则有sin2θ＋sinθcosθ＝cosθ，令f(θ)＝sin2θ＋sinθcosθ1－cosθ＝＋－cosθ，则f(0)＝－1＜0，f＝1－＞0，故必存在θ0使得：f(θ0)＝0，故AD与AP可能重合．D选项正确．答案：D5．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°cos128°＋cos40°cos38°，c＝，d＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c，d的大小关系为()A．a＞b＞d＞cB．b＞a＞d＞cC．d＞a＞b＞cD．c＞a＞d＞b解析：a＝sin(56°－45°)＝sin11°.b＝－sin40°cos52°＋cos40°sin52°＝sin(52°－40°)＝sin12°.c＝＝cos81°＝sin9°.d＝(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°.∴b＞a＞d＞c.答案：B6．设M(x∈R)为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f(x)＝|OM|，当x变化时，函数f(x)的最小正周期是()A．30πB．15πC．30D．15解析：f(x)＝|OM|＝＝＝＝＝＝2.所以其最小正周期T＝＝15.答案：D二、填空题7．已知sinαcosβ＝，则cosαsinβ的取值范围是__________．解析：方法一：设x＝cosα·sinβ，则sin(α＋β)＝sinα·cosβ＋cosα·sinβ＝＋x，sin(α－β)＝sinα·cosβ－cosα·sinβ＝－x. －1≤sin(α＋β)≤1，－1≤sin(α－β)≤1，∴∴∴－≤x≤.方法二：设x＝cosα·sinβ，sinα·cosβ·cosα·sinβ＝x.即sin2α·sin2β＝2x.由|sin2α·sin2β|≤1，得|2x|≤1，∴－≤x≤.答案：8．函数y＝sin·cos的最大值为__________．解析：y＝sincos＝cosxcos＝cosx＝cos2x＋sinxcosx＝×＋sin2x＝cos＋，故函数的最大值是.2答案：9．(2015·吉安月考)已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为h1，h2，B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l1交于点C，则△ABC面积的最小值为__________．解析：如图，设∠ABD＝α，则∠CAE＝α，AB＝，AC＝.所以S△ABC＝·AB·AC＝.当2α＝，即α＝时，S△ABC的最小值为h1h2.答案：h1h2三、解答题10．(2015·揭阳月考)已知函数f(x)＝＋2sinx.(1)求函数f(x)的定义域和最小正周期；(2)若f(α)＝2，α∈[0，π]，求f的值．解析：(1)sinx≠0，解得x≠kπ(k∈Z)，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}， f(x)＝＋2sinx＝2cosx＋2sinx＝2＝2sin，∴f(x)的最小正周期为T＝＝2π.(2)方法一：由f(α)＝2⇒cosα＋sinα＝1⇒2cosαsinα＝0. α∈[0，π]且sinα≠0，∴α＝.∴f＝2sin＝2sin＝.方法二：由f(α)＝2，α∈[0，π]，得sinα＋cosα＝1⇒cosα＝1－sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＋(1－sinα)2＝1⇒2sinα(sinα－1)＝0. sinα≠0，∴sinα＝1，又 α∈[0，π]，∴α＝，∴f＝2sin＝2sin＝.11．已知函数f(x)＝sin－2sin2x＋1(x∈R)，(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成...
