解题的一个切入点寻找已知条件与所求问题之间的隐含关系陈华安解答数学题需要选择一个容易攻克的突破口，并以此作为解题的切入点，由点及面，逐步解决所有问题。这需要在分析题目的已知条件和所求问题特征的基础上，正确寻找已知条件与所求问题特征之间的隐含关系式作为解题的一个切入点，成为成功解题的关键。数学题目的条件与所要求的问题之间必然存在某种联系，对已知条件及所求问题的特征进行全面分析，多角度思考，瞻前顾后，从中管窥到它们之间的隐含的关系，并以此为切入点寻找已知与未知之间的内在联系，获得解题思路和方法。一.利用常见的等量关系式寻找已知与所求问题之间的隐含关系式例1.若数列的前n项和，且，则=（）A.B.C.D.分析：由数列的前n项和公式与所求问题的特征可知，它们之间隐含着这样关系：当n=1时，；当时，。则，以此为切入点可转化为与的关系式，问题获解。解：数列的前n项和，且，即，，也即。选A。例2.已知a>b>0，且ab=1，求的取值范围。分析：由已知条件与所求问题的特征可知，它们之间隐含这样关系：，以此为切入点，把分子转化为与ab的关系式，问题获解。解：。故的取值范围是。二.模式类比寻找隐含关系式用心爱心专心115号编辑1例3.解方程分析：解此方程用常规方法难以奏效，但注意到方程中含有，则模式类比到同角三角函数的基本关系式，即寻找到它们之间的隐含关系式，以此为解题的切入点，故设用三角代换解之。解：设则，原方程为即①又令，两边平方得②把②代入①得故（不合题意，舍去）由得则经检验知都是原方程的解。三.联想几何中的定理，挖掘其中的隐含关系式，构造几何图形例4.已知x，y是实数，a，b，c均是正常数，求的取值范围。分析：由式子两个平方根及其被开方数都可以写成，联想到勾股定理，分别以x和和为直角边构造两个直角三角形。又，故可使这两个直角三角形有两条边在同一直线上，从而找到解题的切入点，问题获得解决。解：依题意可构造如图1，用心爱心专心115号编辑2图1设CA⊥AB，BD⊥DE，且AB=x，BD=a－x，，则（当且仅当B、C、D三点共线时取等号）。过点A作AF//BE交DE的延长线于F，故，，所求的取值范围是四.在模型中寻找隐含关系例5.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一个球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.分析与解：因为正四面体是正方体的一部分，所以可把正方体作为它的模型。因而可将所有棱长都为的正四面体置于棱长为1的正方体中，则正方体的外接球的直径等于正方体的对角线长，从而可知此球的表面积是，选A。五.由特殊到一般寻找隐含关系例6.在平面内，不平行且不共点的n条直线可以把平面分成多少部分？分析与解：记n条直线把平面分成的部分为，则当n取1，2，3，4，……时，分别为2，4，7，11，……，因此n条直线和n+1条直线分平面区域与存在着关系：。故则可以把平面分成部分。六.在图形中隐含关系例7.一个三角形的三边为a，a，b，另一三角形的三边长为b，b，a，，且两个三角形的最小内角都等于，则（），（）。（“宇振杯”数学竞赛模拟题）分析与解：利用余弦定理在各三角形中建立a，b的关系式，再化为的方程则会变成一元三次方程，运算繁杂，不可行。但注意到两个三角形中有相等的边，则可尝试把边长为a，a，b的三角形拼补到另一个三角形上，从而发现它的隐含关系是拼补后的图形为等腰三角形。（如图2）用心爱心专心115号编辑3图2设，作AE⊥BC，则，故，即由此可得，且综上，找出已知条件与所求问题之间的隐含关系不但是解题的一个重要切入点，更是成功解题的关键。用心爱心专心115号编辑4
