考点集训(七十六)第76讲不等式证明的基本方法1．已知a≥b＞0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M、N的大小关系为__________．2．若a，b均为正实数，且a≠b，M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系为________．3．设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．4．已知f(x)＝，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.5．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(1)··≥8；(2)＋＋≤.6．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋>(n∈N*，n≥2)．7．已知x＋y>0，且xy≠0.(1)求证：x3＋y3≥x2y＋y2x；(2)如果＋≥恒成立，试求实数m的取值范围或值．第76讲不等式证明的基本方法【考点集训】1．M≥N2.M>N3．【解析】(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.4．【解析】|f(a)－f(b)|＝|－|＝＝≤<＝|a－b|.5．【解析】(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，··＝≥＝8.(2)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，2(a＋b＋c)≥2＋2＋2，两边同加a＋b＋c得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2＋2＋2＝(＋＋)2.又a＋b＋c＝1，∴(＋＋)2≤3，∴＋＋≤.6．【解析】(1)当n＝2时，1＋＋＋>1＋＋＋＝，不等式成立．(2)假设当n＝k时不等式成立，即1＋＋＋…＋>，则n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>＋＋＋…＋,\s\do4(2k个))＝＋＝，∴当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)，(2)可知，对任何n∈N，n≥2不等式成立．7．【解析】(1)∵x3＋y3－(x2y＋y2x)＝x2(x－y)－y2(x－y)＝(x＋y)(x－y)2，且x＋y>0，(x－y)2≥0，∴x3＋y3－(x2y＋y2x)≥0.∴x3＋y3≥x2y＋y2x.(2)(ⅰ)若xy<0，则＋≥等价于≥＝，又∵＝<＝－3，即<－3，∴m>－6；(ⅱ)若xy>0，则＋≥等价于≤＝，又∵≥＝1，即≥1，∴m≤2.综上所述，实数m的取值范围是(－6，2]．
