第3讲解析几何的综合问题专题复习检测A卷1．(2018年北京海淀区校级三模)若双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与C2：－＝1的离心率分别为e1和e2，则下列说法正确的是()A．e＝eB．＋＝1C．C1与C2的渐近线相同D．C1与C2的图象有8个公共点【答案】A【解析】由题意，e1＝＞1，e2＝＞1，显然e＝e.故选A．2．(2019年河南焦作模拟)设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为()A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12【答案】C【解析】如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点，由椭圆定义知|PA|＋|PB|＝2a＝10.连接PA，PB分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最小，最小值为|PA|＋|PB|－2R＝8；连接PA，PB并延长，分别与圆相交于M，N两点，此时|PM|＋|PN|最大，最大值为|PA|＋|PB|＋2R＝12.故选C．3．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥FB，设∠ABF＝θ且θ∈，则双曲线离心率的取值范围是()A．(，2]B．(1，]C．(，＋∞)D．(2，＋∞)【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′. AF⊥FB，∴四边形AFBF′为矩形．因此|AB|＝|FF′|＝2c.则|AF|＝2csinθ，|BF|＝2ccosθ. |AF′|－|AF|＝2a.∴2ccosθ－2csinθ＝2a，即c(cosθ－sinθ)＝a，则e＝＝＝. θ∈，∴θ＋∈，则cos∈，cos∈，则＞＝，即e＞，故双曲线离心率的取值范围是(，＋∞)．故选C．4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A．B．C．D．【答案】D【解析】根据已知条件，得－＝－2，所以p＝4.从而抛物线的方程为y2＝8x，其焦点为F(2,0)．设切点B(x0，y0)，由题意，在第一象限内y2＝8x⇒y＝2.由导数的几何意义可知切线的斜率为kAB＝y′＝，而切线的斜率也可以为kAB＝.又因为切点B(x0，y0)在曲线上，所以y＝8x0.由上述条件解得即B(8,8)．从而直线BF的斜率为＝.故选D．5．(2018年黑龙江绥化检测)已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则＋的最小值为()A．2B．4C．8D．9【答案】D【解析】圆C1的标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，其圆心为(－2a,0)，半径为2；圆C2的标准方程为x2＋(y－b)2＝1，其圆心为(0，b)，半径为1. 圆C1和圆C2只有一条公切线，∴圆C1与圆C2相内切，∴＝2－1，得4a2＋b2＝1.∴＋＝(4a2＋b2)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，且4a2＋b2＝1，即a2＝，b2＝时等号成立．∴＋的最小值为9.6．(2018年浙江绍兴检测)双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(2,1)在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．【答案】【解析】双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，且“右”区域是由不等式组所确定．又点(2,1)在“右”区域内，∴1<，即>.∴双曲线的离心率e＝∈.7．已知实数x，y满足方程(x－a＋1)2＋(y－1)2＝1，当0≤y≤b(b∈R)时，由此方程可以确定一个偶函数y＝f(x)，则抛物线y＝－x2的焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值为________．【答案】【解析】由题意可得圆的方程一定关于y轴对称，故由－a＋1＝0，求得a＝1.由圆的几何性质知，只有当y≤1时，才能保证此圆的方程确定的函数是一个偶函数，故0＜b≤1.由此知点(a，b)的轨迹是一线段，其横坐标是1，纵坐标属于(0,1]，又抛物线y＝－x2，故其焦点坐标为，由此可以判断出焦点F到点(a，b)的轨迹上点的距离最大值是＝.8．(2018年湖北襄阳模拟)已知直线l：x＋y＋m＝0与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)右支交于M，N两点，点M在第一象限，若点Q满足OM＋OQ＝0(其中O为坐标原点)，且∠MNQ＝30°，则双曲线C的渐近线方程为________．【答案】y＝±x【解析】由题意可知M，Q关于原点对称，设M(m，n)，N(u，v)，则Q(－m，－n)，代入双曲线方程，得－＝1，－＝1，两式相减，得＝，∴kMN·kQN＝·＝＝. kMN＝－，kQN＝tan150°＝－，∴＝1，即a＝b.∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x.9．(2019年重庆期末)如图，焦距为2的椭...
