函数、导数之一存在与恒成立问题已知函数，，．（1）当时，若对任意均有成立，求实数的取值范围；（2）设直线与曲线和曲线相切，切点分别为，，其中．①求证：；②当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）①证明见解析；②．【解析】（1）当时，，由知：，依题意：对恒成立，设，，当时；当时，，设，，当时；当时，，故实数的取值范围是．（2）由已知：，，一、（2018东北三省三校（哈师大附中、东北师大附中、辽宁实验中学）一模）①：由得：，由得：，故，，，，故：．②：由①知：，且，由得：，设，，在为减函数，，由得：，，又，．已知函数．（1）若函数有一个极小值点和一个极大值点，求的取值范围；（2）设，若存在，使得当时，的值域是，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），则，二、(2018河北八市第一次测评考试)令，若函数有两个极值点，则方程必有两个不等的正根，设为，，不妨设，于是，解得，则．当时，，，在上为减函数；当时，，，在上为增函数；当时，，函数在上为减函数．由此，是函数的极小值点，是函数的极大值点．符合题意．综上，所求实数的取值范围是．（2），①当时，．当时，，在上为减函数；当时，，在上为增函数．所以，当时，，的值域是．不符合题意．②当时，．（i）当，即时，，当且仅当时取等号．所以在上为减函数．从而在上为减函数．符合题意．（ii）当，即时，当变化时，，的变化情况如下表：减函数极小值增函数极大值减函数若满足题意，只需满足，且（若，不符合题意），即，且．又，所以，此时．所以实数的取值范围是．已知函数．（1）设，讨论的单调性；（2）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）函数定义域为，由题意得，则，①当时，，则在上单调递增；②当时，令，解得，三、(2018百校联盟TOP20高三三月联考)当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减．（2）设函数，其中为自然对数的底数，∴，，当时，，在上是增函数，∴不可能恒成立，当时，由，得，∵不等式恒成立，∴，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴当时，取最大值，，∴满足即可，∴，∴，令，，．令，，由，得，当时，，是增函数，当时，，是减函数，∴当时，取最小值，∵且当时，，∴当时，；当时，．∴当时，，是减函数，当时，，是增函数，∴时，取最小值，，∴的最小值为．
