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高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课后训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课后训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题_第1页
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4.2用数学归纳法证明不等式课后训练1.用数学归纳法证明1122CCC>nnnnnn-+++(n≥n0且n∈N+),则n的最小值为().A.1B.2C.3D.42.已知a1=1,an+1>an,且(an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,先计算a2,a3,再猜想an等于().A.nB.n2C.n3D.3nn+-3.用数学归纳法证明“11111112324nnnnn++++++++(n∈N+)”时,由n=k到n=k+1时,不等式左边应添加的项是().A.121k+B.112122kk+++C.11121221kkk+-+++D.1111212212kkkk+--++++4.用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n,总有2n>n3时”,验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________.5.求证:11115>12336nnnn+++++++(n≥2,n∈N+).6.设n∈N+,a>b>0,求证:an>bn.7.用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数n,不等式11(1)(1)35++121(1)>212nn++-成立.8.设x1,x2,…,xn为实数,用数学归纳法证明:|x1+x2+…+xn|≤|x1|+|x2|+…+|xn|.已知数列{an}中,a1=1,11nnaca+=-.(1)设52c=,12nnba=-,求数列{bn}的通项公式;1(2)求使不等式an<an+1<3成立的c的取值范围.参考答案1.答案:B解析:当n=1时,左边=11C1=,右边=10=1,1>1不成立;当n=2时,左边=1222CC+=2+1=3,右边=1222=,3>2,成立.当n=3时,左边=123333CCC++=3+3+1=7,右边=31=3,7>3,成立.2.答案:B解析: (an+1-an)2-2(an+1+an)+1=0,∴(a2-1)2-2(a2+1)+1=0.∴a2=4或a2=0(舍去).同理a3=9或a3=1(舍去),∴猜想an=n2.3.答案:C解析:当n=k时,不等式为111111224kkkk++++++.当n=k+1时,左边=111111211kkkk+++++++++-11111kkkk+++++++11111232122kkkkkk=++++++++++.比较n=k与n=k+1的左边,知应添加的项为11121221kkk+-+++.4.答案:10解析:当n=1时,21>13,成立;当n=2时,22>23,不成立;当n=3时,23>33,不成立;当n=4时,24>43,不成立;当n=5时,25>53,不成立;当n=6时,26>63,不成立;…当n=9时,29=512>93,不成立;当n=10时,210=1024>103,成立.5.证明:(1)当n=2时,右边=11115>34566+++,不等式成立.(2)假设当n=k时(k≥2,k∈N+),有1115>1236kkk+++++成立,则当n=k+1时,211111123kkk+++++++111313231kkk++++++=111123kkk+++++11113132331kkkk++-++++51111>63132331kkkk+++-++++51111>63333331kkkk+++-++++5115363316kk=+-=++.所以当n=k+1时不等式也成立.由(1)(2)知,原不等式对一切n≥2,n∈N+时均成立.6.证明:(1)当n=1时,a>b显然成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即ak>bk.因为a>b>0,把ak>bk的两边同时乘以a,得ak+1>abk,所以有ak+1>abk>b·bk=bk+1,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知,对任意n∈N+,原不等式成立.7.证明:(1)当n=2时,左边=14133+=,右边=52,左边>右边.∴不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+,k≥2)时,不等式成立,即11121111>35212kk++++-.那么当n=k+1时,111111113521211kk++++-+-2122>221kkk+++22221kk+==+22484483>221221kkkkkk++++++21123212221kkkk++++==+.∴n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知对一切大于1的自然数n,不等式都成立.8.证明:(1)我们已经知道|x1+x2|≤|x1|+|x2|,3所以命题对n=2成立.(2)设命题对n=k成立,即|x1+x2+…+xk|≤|x1|+|x2|+…+|xk|,于是,当n=k+1时,|x1+x2+…+xk+1|=|(x1+x2+…+xk)+xk+1|≤|x1+x2+…+xk|+|xk+1|≤|x1|+|x2|+…+|xk|+|xk+1|.这就是说当n=k+1时,命题也成立.由(1)及(2),根据数学归纳法,可以断定命题对任何正整数都成立.9.解:(1)12512222nnnnaaaa+--...

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