高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式课后训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.2用数学归纳法证明不等式课后训练1．用数学归纳法证明1122CCC>nnnnnn－＋＋＋(n≥n0且n∈N＋)，则n的最小值为()．A．1B．2C．3D．42．已知a1＝1，an＋1＞an，且(an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，先计算a2，a3，再猜想an等于()．A．nB．n2C．n3D．3nn＋－3．用数学归纳法证明“11111112324nnnnn＋＋＋＋＋＋＋＋(n∈N＋)”时，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边应添加的项是()．A．121k＋B．112122kk＋＋＋C．11121221kkk＋－＋＋＋D．1111212212kkkk＋－－＋＋＋＋4．用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n，总有2n＞n3时”，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是__________．5．求证：11115>12336nnnn＋＋＋＋＋＋＋(n≥2，n∈N＋)．6．设n∈N＋，a＞b＞0，求证：an＞bn.7．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式11(1)(1)35＋＋121(1)>212nn＋＋－成立．8．设x1，x2，…，xn为实数，用数学归纳法证明：|x1＋x2＋…＋xn|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xn|.已知数列{an}中，a1＝1，11nnaca＋＝－.(1)设52c＝，12nnba＝－，求数列{bn}的通项公式；1(2)求使不等式an＜an＋1＜3成立的c的取值范围．参考答案1.答案：B解析：当n＝1时，左边＝11C1＝，右边＝10＝1,1＞1不成立；当n＝2时，左边＝1222CC＋＝2＋1＝3，右边＝1222＝，3>2，成立．当n＝3时，左边＝123333CCC＋＋＝3＋3＋1＝7，右边＝31＝3，7＞3，成立．2.答案：B解析： (an＋1－an)2－2(an＋1＋an)＋1＝0，∴(a2－1)2－2(a2＋1)＋1＝0.∴a2＝4或a2＝0(舍去)．同理a3＝9或a3＝1(舍去)，∴猜想an＝n2.3.答案：C解析：当n＝k时，不等式为111111224kkkk＋＋＋＋＋＋.当n＝k＋1时，左边＝111111211kkkk＋＋＋＋＋＋＋＋＋－11111kkkk＋＋＋＋＋＋＋11111232122kkkkkk＝＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋.比较n＝k与n＝k＋1的左边，知应添加的项为11121221kkk＋－＋＋＋.4.答案：10解析：当n＝1时，21＞13，成立；当n＝2时，22＞23，不成立；当n＝3时，23＞33，不成立；当n＝4时，24＞43，不成立；当n＝5时，25＞53，不成立；当n＝6时，26＞63，不成立；…当n＝9时，29＝512＞93，不成立；当n＝10时，210＝1024＞103，成立．5.证明：(1)当n＝2时，右边＝11115>34566＋＋＋，不等式成立．(2)假设当n＝k时(k≥2，k∈N＋)，有1115>1236kkk＋＋＋＋＋成立，则当n＝k＋1时，211111123kkk＋＋＋＋＋＋＋111313231kkk＋＋＋＋＋＋＝111123kkk＋＋＋＋＋11113132331kkkk＋＋－＋＋＋＋51111>63132331kkkk＋＋＋－＋＋＋＋51111>63333331kkkk＋＋＋－＋＋＋＋5115363316kk＝＋－＝＋＋.所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)(2)知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋时均成立．6.证明：(1)当n＝1时，a＞b显然成立．(2)假设当n＝k时，不等式成立，即ak＞bk.因为a＞b＞0，把ak＞bk的两边同时乘以a，得ak＋1＞abk，所以有ak＋1＞abk＞b·bk＝bk＋1，即当n＝k＋1时不等式成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，原不等式成立．7.证明：(1)当n＝2时，左边＝14133＋＝，右边＝52，左边＞右边．∴不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，即11121111>35212kk＋＋＋＋－.那么当n＝k＋1时，111111113521211kk＋＋＋＋－＋－2122>221kkk＋＋＋22221kk＋＝＝＋22484483>221221kkkkkk＋＋＋＋＋＋21123212221kkkk＋＋＋＋＝＝＋.∴n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)，知对一切大于1的自然数n，不等式都成立．8.证明：(1)我们已经知道|x1＋x2|≤|x1|＋|x2|，3所以命题对n＝2成立．(2)设命题对n＝k成立，即|x1＋x2＋…＋xk|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|，于是，当n＝k＋1时，|x1＋x2＋…＋xk＋1|＝|(x1＋x2＋…＋xk)＋xk＋1|≤|x1＋x2＋…＋xk|＋|xk＋1|≤|x1|＋|x2|＋…＋|xk|＋|xk＋1|.这就是说当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)及(2)，根据数学归纳法，可以断定命题对任何正整数都成立．9.解：(1)12512222nnnnaaaa＋－－...