第13讲一元二次不等式A级——高考保分练1．不等式－x2－3x＋4≤0的解集为________．解析：由－x2－3x＋4≤0得x2＋3x－4≥0，即(x＋4)(x－1)≥0，∴x≥1或x≤－4.答案：(－∞，－4]∪[1，＋∞)2．函数f(x)＝的定义域是________．解析：由题意得－x2＋4x－3＞0，即x2－4x＋3＜0，所以1＜x＜3，又ln(－x2＋4x－3)≠0，即－x2＋4x－3≠1，所以x2－4x＋4≠0，所以x≠2.故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3)．答案：(1,2)∪(2,3)3．(2019·通州调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为________．解析：由题意可得解得－3
0的解集为________．解析：当x≥0时，原不等式即为x(1－2x)>0，所以00，所以x<0，综上，原不等式的解集为(－∞，0)∪.答案：(－∞，0)∪5．已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为________．解析：因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，所以函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)＜0，所以(6a＋5)(2a＋3)＜0，所以－＜a＜－.又a∈Z，所以a＝－1.不等式f(x)＞1即为－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.答案：(－1,0)6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1，m)，则m的值为________．解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax2－6x＋a2＝0的一个根，即a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3，当a＝2时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a＝－3时，不等式ax2－6x＋a2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m＝2.答案：27．在R上定义运算：＝ad－bc，若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为_______．解析：由定义知，不等式≥1等价于x2－x－(a2－a－2)≥1，∴x2－x＋1≥a2－a对任意实数x恒成立． x2－x＋1＝2＋≥，∴a2－a≤，解得－≤a≤，则实数a的最大值为.答案：8．已知f(x)＝mx2－mx－1，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：由mx2－mx－1＜－m＋5得m(x2－x＋1)＜6. x2－x＋1＞0，∴m＜在[1,3]上恒成立．令y＝＝.因为t＝2＋在[1,3]上是增函数，所以y＝在[1,3]上是减函数．因此函数的最小值为.所以m的取值范围是.答案：9．设a<0，若不等式－cos2x＋(a－1)cosx＋a2≥0对于任意的x∈R恒成立，则a的取值范围是________．解析：令t＝cosx，t∈[－1,1]，则不等式f(t)＝t2－(a－1)t－a2≤0对t∈[－1,1]恒成立，因此⇒因为a<0，所以a≤－2.答案：(－∞，－2]10．(2019·苏北四市高三一模)已知函数f(x)＝函数g(x)＝f(x)＋f(－x)，则不等式g(x)≤2的解集为________．解析：f(x)＝则f(－x)＝故g(x)＝当x＞1时，g(x)≤2⇒x2－3x＋4≤2⇒1＜x≤2，当－1≤x≤1时，g(x)＝2，满足．当x＜－1时，g(x)≤2⇒x2＋3x＋4≤2⇒－2≤x＜－1，故g(x)≤2的解集为[－2,2]．答案：[－2,2]11．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的实根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最大值为正数，求a的取值范围．解：(1)因为f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，所以f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，所以f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a.①由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0，解得a＝1或a＝－.由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①，得f(x)＝－x2－x－.(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a＝a2－且a<0，可得f(x)的最大值为－.由解得a<－2－或－2＋0)的最小值；(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a恒成立，试求a的取值范围．解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立．所以y≥－2.所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.(2)因为f(x)－a＝x2...
