2007年高考考前十天数学创新题每天六题第一天在2007年高考来临之际，我们从2006年全国各地高考试卷和2006—2007学年各地模拟考试卷中精选了设计新颖、构思巧妙的数学创新题，分十天呈现给广大的考生和高三数学老师，期待者通过创新题的研究——考前每一天的思维体操，有一种激情、有一种创新！如2007年上海市春考卷第17题(满分14分)，该题的设计是新颖，要求考试既要编题，又要解题．显然是考能力的“活题”．这是用数学问题考查创新意识的典范，读者应从中有所启发．本套练习所选新题的特点是：新而不难，活而不繁，入口较宽，思路多变，是数学非智力因素训练的好素材。在离高考还有两周的日子里，你不妨拿出半个到一个小时（视学习程度而定），让头脑接受一次风暴！祝愿所有的高三学子笑傲高考，梦圆六月！1、已知两个函数和的定义域和值域都是集合{1,2,3},其定义如下表.填写下列的表格,其三个数依次为A.3,1,2B.2,1,3C.1,2,3D.3,2,1答案：D2、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：当ab时，aba；当ab时，abb2。则函数fxxxxx()()()1222·，的最大值等于（C）（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）A.1B.1C.6D.123、在△ABC中，，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程，下表给出了一些条件及方程：条件方程①△ABC周长为10：②△ABC面积为10：第1页共4页x123f（x）231x123g（x）132x123g(f（x）)③△ABC中，∠A=90°：则满足条件①、②、③的轨迹方程分别为（用代号、、填入）答案：4、已知xR，［x］表示不大于x的最大整数，如[]3，[]121，[]120，则[]3_____________；使[]x13成立的x的取值范围是_____________答案：25、(2007年上海市春考卷第17题，本题满分14分)求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积16/3后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16/3，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为16/3，求所有侧面面积之和的最小值”.试给出问题“在平面直角坐标系xOy中，求点P(2,1)到直线3x+4y=0的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．“逆向”问题可以是：[解]设所求轨迹上任意一点为P(x,y)，则，(2)若点P(2,1)到直线l:ax+by=0的距离为2，求直线l的方程．所以，直线l的方程为x=0或3x+4y=0．意义不大的“逆向”问题可能是：(3)点P(2,1)是不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点？第2页共4页[解]因为，所以点P(2,1)是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点．(4)点Q(1,1)是不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点？[解]因为，所以点Q(1,1)不是到直线3x+4y=0的距离为2的一个点．(5)点P(2,1)是不是到直线5x+12y=0的距离为2的一个点？[解]因为，所以点P(2,1)不是到直线5x+12y=0的距离为2的一个点．点评：本题的设计是比较新颖的，要求考试既要编题，又要解题．显然是考能力的＂活题＂．这是用数学问题考查创新意识的点范，读者应从中有所启发．6、设M是由满足下列条件的函数构成的集合：“①方程有实数根；②函数的导数满足.”（I）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（II）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意[m，n]D，都存在[m，n]，使得等式成立”，试用这一性质证明：方程只有一个实数根；（III）设是方程的实数根，求证：对于定义域中任意的第3页共4页.解：（1）因为，所以满足条件又因为当时，，所以方程有实数根0.所以函数是集合M中的元素.（2）假设方程存在两个实数根），则，不妨设，根据题意存在数使得等式成立，因为，所以，与已知矛盾，所以方程只有一个实数根；（3）不妨设，因为所以为增函数，所以，又因为，所以函数为减函数，所以，所以，即所以第4页共4页
