（五）函数的单调性、奇偶性与周期性（一）知识归纳▲函数的单调性1．单调性概念如果函数y=f(x)对于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、f(x2)，则称f(x)在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f(x)在整个定义域I内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f(x)称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内是单调递增；如果，那么函数在这个区间内是单调递减。▲函数的奇偶性3．奇偶性概念如果对于函数f(x)定义域内的任意x，①都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)为奇函数；②都有f(－x)=f(x)，则称f(x)为偶函数；③如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。5．函数f(x)为奇函数，且在处有定义，则▲函数的周期性6．周期性概念如果存在一个非零常数T，使得对于函数定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数。T是f(x)的一个周期。若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期。（二）学习要点：▲函数的单调性1．函数单调性的证明方法（1）定义法：①任取；②论证③根据定义，得出结论。（2）导数法2．若要证明在区间上不是单调函数，只要举出反例即可。3．如果知道的单调性，你能说出的单调性的结论吗？4．复合函数的单调性：“同增异减”设复合函数y=f[g(x)],其中u=g(x),A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是g(x)的值域①若u=g(x)在A上是增（或减）函数，y=f(u)在B上也是增（或减）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是增函数；②若u=g(x)在A上是增（或减）函数，而y=f(u)在B上是减（或增）函数，则函数y=f[g(x)]在A上是减函数。5．奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性。6．运用函数的单调性可以解“含的抽象函数”的不等式。7．注意“函数f(x)的单调递增（或递减）区间是D”与“函数f(x)在区间上单调递增（或递减）“，这是两类不同的问题，从导数知识出发，更容易理解这两类问题：①函数f(x)的单调递增（减）区间是D不等式f’(x)>0（<0）的解集是区间D；②函数f(x)在区间D内单调递增（减）不等式f’(x)>0（<0）对于x∈D恒成立.▲函数的奇偶性8．函数奇偶性的证明方法：定义法（首先检验函数的定义域是否关于原点对称）。9．要证一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠010．如果知道的奇偶性，你能说出，，的奇偶性的结论吗？▲函数的周期性1．f(x+T)=f(x)常常写作。2．若周期函数f(x)的周期为T，则f(ωx)（ω≠0）是周期函数，且周期为3．函数的单调性、奇偶性与周期性的综合应用。(三)例题讲评例1．已知函数f(x)=的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。(1)求m,n的值；（2）试用单调性的定义证明：在区间上是单调函数.例2．设f(x)是定义在R上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足,求实数a的取值范围。例3．判断下列函数的奇偶性：例4．（1）是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为T,则的值为A．B．0C．TD．－（2）定义在实数集上的函数满足，，且，则是以为一个周期的周期函数.（3）已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，当x∈[－4，0]时，f(x)的表达式为.___________（四）练习题一、选择题题号123456789101112答案1．若函数,则该函数在上是A．单调递减无最小值B．单调递减有最小值C．单调递增无最大值D．单调递增有最大值2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f(2)0，则使得f(x)<0的x的取值范围是A．(¥,2)B．(2,¥)C．(¥,2)(2,¥)D．(2,2)3．给出下列函数：①，②...
