阶段提升突破练(四)(立体几何)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则()A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n【解题导引】根据线、面垂直的定义判断.【解析】选C.由题意知,α∩β=l,所以l⊂β,因为n⊥β,所以n⊥l.2.(2017·长沙二模)如图是一个四面体的三视图,这个三视图均是腰长为2的等腰直角三角形,正视图和俯视图中的虚线是三角形的中线,则该四面体的体积为()A.B.C.D.2【解析】选A.由四面体的三视图得该四面体为棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-BDE,其中点E是CD中点,△BDE面积S=×=1,三棱锥C1-BDE的高h=CC1=2,所以该四面体的体积:V=Sh=.3.(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A.10B.12C.14D.16【解题导引】主要考查如何将三视图转化为几何体问题,突出考查考生的空间想象能力.【解析】选B.由三视图可画出立体图,该立体图各面中只有两个相同的梯形的面,S梯=×2÷2=6,S全梯=6×2=12.【加固练习】(2017·黄冈二模)某一简单几何体的三视图如图所示,该几何体的外接球的表面积是()A.13πB.16πC.25πD.27π【解析】选C.几何体为底面为正方形的长方体,底面对角线为4,高为3,所以长方体底面边长为2,则长方体外接球半径为r,则2r==5,所以r=,所以长方体外接球的表面积S=4πr2=25π.4.(2017·合肥二模)若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥与平面α平行的棱有()A.0条B.1条C.2条D.1条或2条【解析】选C.如图所示,四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH,因为EF⊄平面BCD,GH⊂平面BCD,所以EF∥平面BCD,因为EF⊂平面ACD,平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD,所以CD∥平面EFGH,同理AB∥平面EFGH.5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于()A.45°B.60°C.90°D.120°【解析】选B.如图,取A1B1的中点M,连接GM,HM.由题意易知EF∥GM,且△GMH为正三角形.所以异面直线EF与GH所成的角即为GM与GH的夹角∠HGM.而在正三角形GMH中∠HGM=60°.6.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【解析】选C.根据三垂线逆定理,平面内的线垂直过平面的斜线,那也垂直于斜线所在平面内的射影.A.若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,显然不成立;B.若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,显然不成立;C.若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C成立,反过来BC1⊥B1C,也能推出A1E⊥BC1;D.若A1E⊥AC,那么AE⊥AC,显然不成立.7.(2017·洛阳二模)一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状可以是:(1)三角形;(2)四边形;(3)五边形;(4)六边形.其中正确的结论是()A.(1)(3)B.(2)(4)C.(2)(3)(4)D.(1)(2)(3)(4)【解析】选B.正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心.三角形截面不过正方体的中心,故(1)不正确;过正方体的一对棱和中心可作一截面,截面形状为长方形,故(2)正确;正方体容器中盛有一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状不可能是五边形,故(3)不正确;过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心得截面形状为正六边形,故(4)正确.8.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将△ACD沿AC折起,使得D折起的位置为D1,且D1在平面ABC的射影恰好落在AB上,在四面体D1ABC的四个面中,其中有n对平面相互垂直,则n等于()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设D1在平面ABC的射影为E,连接D1E,则D1E⊥平面ABC,因为D1E⊂平面ABD1,所以平面ABD1⊥平面ABC.因为D1E⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以D1E⊥BC,又因为AB⊥BC,D1E∩AB=E,所以BC⊥平面ABD1,又因为BC⊂平面BCD1,所以平面BCD1⊥平面ABD1,因为BC⊥平面ABD1,AD1⊂平面ABD1,所以BC⊥AD1,又因为CD1⊥AD1,BC∩CD1=C,所以AD1⊥平面BCD1,又因为AD1⊂平面ACD1,所以平面ACD1⊥平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直.二、填空题(每小题5分,共20分)9.(2017·山东高考)由一个长方体和两个圆柱构成的几何体的三...
